Решите уравнение:
\(\displaystyle x^4+21x^2-100 = 0{\small .}\)
(Если корней меньше двух, оставьте последнюю ячейку пустой.)
Дано биквадратное уравнение.
Тогда, с помощью замены, сведем уравнение к квадратному.
Заметим, что \(\displaystyle x^4\) – это квадрат \(\displaystyle x^2{\small:}\)
\(\displaystyle x^4=x^{2\cdot2}=\left(x^2\right)^2{\small.}\)
Тогда, если сделать замену переменной \(\displaystyle \color{blue}{t}=\color{blue}{x^2}{\small,}\) то \(\displaystyle \color{green}{x^4}=\left(\color{blue}{x^2}\right)^2=\color{green}{t^2}{\small.}\)
Сделаем замену в уравнении:
\(\displaystyle \color{green}{x^4}+21\color{blue}{x^2}-100=0{\small,}\)
\(\displaystyle \color{green}{t^2}+21\color{blue}{t}-100=0{\small .} \)
Получили квадратное уравнение, решим его.
\(\displaystyle t_1=4\) и \(\displaystyle t_2=-25{\small.}\)
Теперь, так как \(\displaystyle {t}={x^2}{\small,}\) можно найти \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle 4=x^2\) или \(\displaystyle -25=x^2{\small.}\)
Корни уравнения \(\displaystyle 4=x^2{\small:}\)
\(\displaystyle x_1=2\) и \(\displaystyle x_2=-2{\small.}\)
Уравнение \(\displaystyle -25=x^2\) корней не имеет, так как квадрат не может быть равен отрицательному числу.
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=2{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=2\) и \(\displaystyle x_2=-2{\small.}\)