Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}-4=0{\small.}\)
(Если корней меньше двух, оставьте последнюю ячейку пустой).
Сначала запишем область допустимых значений уравнения.
Делить на \(\displaystyle 0\) нельзя, значит, \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0{\small.}\)
Перейдем к решению уравнения.
Попробуем, с помощью замены, свести уравнение к квадратному.
Заметим, что дробь \(\displaystyle \frac{1}{x^2}\) – это квадрат \(\displaystyle \frac{1}{x}{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}=\left(\frac{1}{x}\right)^2\)
Тогда если сделать замену переменной \(\displaystyle \color{blue}{t}=\color{blue}{\frac{1}{x}}{\small,}\) то \(\displaystyle \color{green}{\frac{1}{x^2}}=\left(\color{blue}{\frac{1}{x}}\right)^2=\color{green}{t^2}{\small.}\)
Сделаем замену в уравнении:
\(\displaystyle \color{green}{\frac{1}{x^2}}-\color{blue}{\frac{3}{x}}-4=0{\small,}\)
\(\displaystyle \color{green}{t^2}-\color{blue}{3t}-4=0{\small.}\)
Получили квадратное уравнение. Решим его.
\(\displaystyle t_1=-1{\small,}\)
\(\displaystyle t_2=4{\small.}\)
Теперь, зная какие значения принимает \(\displaystyle t{\small,}\) и зависимость \(\displaystyle x\) от \(\displaystyle t{\small,}\) найдем \(\displaystyle x{\small.}\)
Так как \(\displaystyle {t}=\frac{1}{x}\) и \(\displaystyle t=-1\) или \(\displaystyle t=4{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle -1=\frac{1}{x}\) или \(\displaystyle 4=\frac{1}{x}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle x=-1\) или \(\displaystyle x=\frac{1}{4}{\small.}\)
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-1{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}\) и \(\displaystyle x_2=-1{\small.}\)