Решите уравнение:
\(\displaystyle x^4-17x^2+16 = 0{\small .}\)
(Если корней меньше двух, оставьте последнюю ячейку пустой.)
Дано биквадратное уравнение.
Тогда, с помощью замены, сведем уравнение к квадратному.
Заметим, что \(\displaystyle x^4\) – это квадрат \(\displaystyle x^2{\small:}\)
\(\displaystyle x^4=x^{2\cdot2}=\left(x^2\right)^2{\small.}\)
Тогда, если сделать замену переменной \(\displaystyle \color{blue}{t}=\color{blue}{x^2}{\small,}\) то \(\displaystyle \color{green}{x^4}=\left(\color{blue}{x^2}\right)^2=\color{green}{t^2}{\small.}\)
Сделаем замену в уравнении:
\(\displaystyle \color{green}{x^4}-17\color{blue}{x^2}+16=0{\small,}\)
\(\displaystyle \color{green}{t^2}-17\color{blue}{t}+16=0{\small .} \)
Получили квадратное уравнение, решим его.
\(\displaystyle t_1=1\) и \(\displaystyle t_2=16{\small.}\)
Теперь, так как \(\displaystyle {t}={x^2}{\small,}\) можно найти \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle 1=x^2\) или \(\displaystyle 16=x^2{\small.}\)
Корни уравнения \(\displaystyle 1=x^2{\small:}\)
\(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=-1{\small.}\)
Корни уравнения \(\displaystyle 16=x^2{\small:}\)
\(\displaystyle x_3=4\) и \(\displaystyle x_4=-4{\small.}\)
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=1{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-1{\small,}\)
\(\displaystyle x_3=4{\small,}\)
\(\displaystyle x_4=-4{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=1\) , \(\displaystyle x_2=-1\) , \(\displaystyle x_3=4\) , \(\displaystyle x_4=-4 {\small.}\)