Найти четвертый член арифметической прогрессии \(\displaystyle a_4{ \small ,}\) если ее первый член \(\displaystyle a_1 = 3{\small ,}\) а разность \(\displaystyle d = 5{\small .}\)
Напомним определение арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия
Последовательность чисел
\(\displaystyle a_1,\, a_2,\ldots,\,a_n,\, a_{n+1},\, \ldots \)
называется арифметической прогрессией, если каждый последующий член последовательности получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа \(\displaystyle d{\small : }\)
\(\displaystyle \begin{array}{rcl}\color{blue}{ a_2}&=&a_1+\color{red}{ d}{ \small ,}\\\color{blue}{ a_3}&=&a_2+\color{red}{ d}{ \small ,}\\\ldots & \ldots & \ldots\\\color{blue}{ a_{n+1}}&=&a_n+\color{red}{ d}{ \small ,}\\\ldots & \ldots & \ldots\\\end{array}\)
Такое число \(\displaystyle d\) называется разностью арифметической прогрессии.
Сначала найдем \(\displaystyle a_2 {\small ,}\) потом \(\displaystyle a_3 {\small ,}\) а потом найдем \(\displaystyle a_4 {\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle a_2 \) – соседние члены в арифметической прогрессии, то по определению они отличаются на \(\displaystyle d{\small ,} \)
\(\displaystyle \color{blue}{ a_2}=a_1 + \color{red}{ d} {\small .} \)
По условию \(\displaystyle a_1 = 3{\small ,}\) \(\displaystyle d = 5{\small .}\)
Получаем
\(\displaystyle a_2=3+5=8{\small .} \)
Поскольку \(\displaystyle a_2 \) и \(\displaystyle a_3 \) – соседние члены в арифметической прогрессии, то по определению они отличаются на \(\displaystyle d{\small ,} \)
\(\displaystyle \color{blue}{ a_3}=a_2 + \color{red}{ d} {\small .} \)
Так как \(\displaystyle a_2 = 8{\small ,}\) \(\displaystyle d = 5{\small ,}\) то
\(\displaystyle a_3=8+5=13{\small .} \)
Поскольку \(\displaystyle a_3 \) и \(\displaystyle a_4 \) – соседние члены в арифметической прогрессии, то по определению они отличаются на \(\displaystyle d{\small ,} \)
\(\displaystyle \color{blue}{ a_4}=a_3 + \color{red}{ d} {\small .} \)
Так как \(\displaystyle a_3 = 13{\small ,}\) \(\displaystyle d = 5{\small ,}\) то
\(\displaystyle a_4=13+5=18{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 18{\small .} \)