Найдите значение выражения
\(\displaystyle \sqrt{a^8\cdot(-a)^4}\) при \(\displaystyle a=2{\small.}\)
Решение 1.
Представим \(\displaystyle (-a)^4\) как степень с основанием \(\displaystyle a{\small:}\)
\(\displaystyle (-a)^4=a^4{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \sqrt{a^8\cdot\color{blue}{(-a)^4}}=\sqrt{a^8\cdot \color{blue}{a^4}}=\sqrt{a^{8+4}}=\sqrt{a^{12}}{\small.}\)
Представим выражение \(\displaystyle a^{12}\) как квадрат:
\(\displaystyle a^{12}=a^{2\cdot6}=\left(a^6\right)^2\)
То есть
\(\displaystyle \sqrt{a^{12}}=\sqrt{\left(a^6\right)^2}\)
Теперь воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \sqrt{\left(a^6\right)^2}=|a^6|{\small.}\)
Подставим заданное в условии значение \(\displaystyle a=2{\small:}\)
\(\displaystyle |a^6|=|2^6|=|64|=64{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 64{\small.}\)
Решение 2.
Подкоренное выражение является произведением квадратов:
\(\displaystyle \sqrt{a^8\cdot(-a)^4}=\sqrt{a^{4\cdot2}\cdot(-a)^{2\cdot2}}=\sqrt{\left(a^4\right)^2\cdot\left((-a)^2\right)^2}{\small.}\)
Тогда запишем корень как произведение корней:
\(\displaystyle \sqrt{\left(a^4\right)^2\cdot\left((-a)^2\right)^2}=\sqrt{\left(a^4\right)^2}\cdot\sqrt{\left((-a)^2\right)^2}{\small.}\)
Теперь воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется:
\(\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \sqrt{\left(a^4\right)^2}\cdot\sqrt{\left(-a^2\right)^2}=|a^4|\cdot|(-a)^2|{\small.}\)
Подставим заданное в условии значение \(\displaystyle a=2{\small:}\)
\(\displaystyle |a^4|\cdot|(-a)^2|=|2^4|\cdot|(-2)^2|=|16|\cdot|4|=16\cdot4=64{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 64{\small.}\)