Найдите значение выражения
\(\displaystyle \frac{a^4\cdot(b^2)^6}{(2ab)^8}\) при \(\displaystyle a=5\) и \(\displaystyle b=10{\small.}\)
Упростим выражение, используя свойства степеней.
Раскроем скобки:
- \(\displaystyle \color{green}{\left(b^2\right)^6=b^{2\cdot6}=b^{12}}{\small,}\)
- \(\displaystyle \color{blue}{(2ab)^8=2^8a^8b^8}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{a^4\cdot\color{green}{(b^2)^6}}{\color{blue}{(2ab)^8}}=\frac{a^4\cdot\color{green}{b^{12}}}{\color{blue}{2^8a^8b^8}}{\small.}\)
Сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{\cancel{a^4}\cdot{b^{\cancel{12}\backslash4}}}{{2^8a^{\cancel{8}\backslash4}\cancel{b^8}}}=\frac{b^4}{2^8a^4}{\small.}\)
Подставим заданные в условии значения \(\displaystyle a=5\) и \(\displaystyle b=10{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{b^4}{2^8a^4}=\frac{10^4}{2^8\cdot5^4}{\small.}\)
Сократим дробь. Разложим \(\displaystyle 10\) на простые множители:
\(\displaystyle 10=2\cdot5{\small.}\)
Подставим в исходное выражение:
\(\displaystyle \frac{10^4}{2^8\cdot5^4}=\frac{(2\cdot5)^4}{2^8\cdot5^4}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle (2\cdot5)^4=2^4\cdot5^4{\small,}\) то получаем:
\(\displaystyle \frac{(2\cdot5)^4}{2^8\cdot5^4}=\frac{\cancel{2^4}\cdot\cancel{5^4}}{2^{\cancel{8}\backslash4}\cdot\cancel{5^4}}=\frac{{1}}{2^4}=\frac{{1}}{16}=0{,}0625{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}0625{\small.}\)