Найдите значение выражения
\(\displaystyle \frac{a^2\cdot(b^2)^8}{(2ab)^8}\) при \(\displaystyle a=4\) и \(\displaystyle b=8{\small.}\)
Упростим выражение, используя свойства степеней.
Раскроем скобки:
- \(\displaystyle \color{green}{\left(b^2\right)^8=b^{2\cdot8}=b^{16}}{\small,}\)
- \(\displaystyle \color{blue}{(2ab)^8=2^8a^8b^8}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{a^2\cdot\color{green}{(b^2)^8}}{\color{blue}{(2ab)^8}}=\frac{a^2\cdot\color{green}{b^{16}}}{\color{blue}{2^8a^8b^8}}{\small.}\)
Сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{\cancel{a^2}\cdot{b^{\cancel{16}\backslash8}}}{{2^8a^{\cancel{8}\backslash6}\cancel{b^8}}}=\frac{b^8}{2^8a^6}{\small.}\)
Подставим заданные в условии значения \(\displaystyle a=4\) и \(\displaystyle b=8{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{b^8}{2^8a^6}=\frac{8^8}{2^8\cdot4^6}{\small.}\)
Сократим дробь. Разложим \(\displaystyle 8\) на простые множители:
\(\displaystyle 8=2\cdot4{\small.}\)
Подставим в исходное выражение:
\(\displaystyle \frac{8^8}{2^8\cdot4^6}=\frac{(2\cdot4)^8}{2^8\cdot4^6}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle (2\cdot4)^8=2^8\cdot4^8{\small,}\) то получаем:
\(\displaystyle \frac{(2\cdot4)^8}{2^8\cdot4^6}=\frac{\cancel{2^8}\cdot4^8}{\cancel{2^8}\cdot4^6}=4^2=16{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 16{\small.}\)