Найдите корень уравнения:
\(\displaystyle \sqrt{10x+141}=-3x+5{\small .}\)
(если корень только один, то вторую ячейку оставьте пустой)
Иррациональное уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Воспользуемся данным правилом для уравнения \(\displaystyle \sqrt{10x+141}=-3x+5{\small .}\)
Тогда уравнение \(\displaystyle \sqrt{10x+141}=-3x+5\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}10x+141&=(-3x+5)^2{ \small ,}\\-3x+5&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим первое уравнение в системе, и проверим, какие из полученных решений удовлетворяют второму неравенству системы.
\(\displaystyle 10x+141=(-3x+5)^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle 10x+141=9x^2-30x+25{ \small ,}\)
\(\displaystyle 9x^2-40x-116=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle D=(-40)^2-4\cdot 9\cdot (-116)=1600+4176=5776=76^{2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{40+\sqrt{5776}}{2\cdot 9}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{40-\sqrt{5776}}{2 \cdot 9}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{58}{9}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=-2{\small .}\)
Корень \(\displaystyle x=\frac{58}{9}\) не удовлетворяет неравенству \(\displaystyle -3x+5\ge 0{ \small ,}\) так как
\(\displaystyle -3\cdot \frac{58}{9}+5\ge 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{129}{9}\ge 0\) – неверно.
Корень \(\displaystyle x=-2\) удовлетворяет неравенству \(\displaystyle -3x+5\ge 0{ \small ,}\) так как
\(\displaystyle -3\cdot (-2)+5\ge 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle 11\ge 0{\small .}\)
Таким образом, \(\displaystyle x=-2\) – решение иррационального уравнения.
Ответ: \(\displaystyle -2{\small .}\)