Найдите \(\displaystyle 49\cos\, 2\alpha,\) если \(\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{7}{\small.}\)
Применим особый вариант формулы косинуса двойного угла
\(\displaystyle \cos\, 2\alpha=2\cos^2 \alpha - 1\)
Тогда:
\(\displaystyle 49\color{blue}{\cos\, 2\alpha}=49(\color{blue}{2\cos^2 \alpha - 1}){\small.}\)
Подставим данное в условии значение \(\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{7} :\)
\(\displaystyle 49(2\color{blue}{\cos^2 \alpha} - 1)=49\bigg(2 \cdot \color{blue}{\bigg(\frac{1}{7} \bigg)^2 } - 1 \bigg){\small.}\)
Найдем значение полученного выражения:
\(\displaystyle 49\bigg(2 \cdot \bigg(\frac{1}{7} \bigg)^2 - 1 \bigg)=49\bigg(2 \cdot \frac{1}{49} - 1 \bigg)=49\bigg( \frac{2}{49} - 1 \bigg)=49 \cdot \bigg( - \frac{47}{49} \bigg)=-47{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle 49\cos\, 2\alpha=49(2\cos^2 \alpha - 1)=49\bigg(2 \cdot \bigg(\frac{1}{7} \bigg)^2 - 1 \bigg)=49\bigg( \frac{2}{49} - 1 \bigg)=49 \cdot \bigg( - \frac{47}{49} \bigg)=-47{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -47 {\small.} \)