Найдите значение выражения:
\(\displaystyle 7^{\frac{4}{9}} \cdot 49^{\frac{5}{18}}= \)
Сведем степени к одинаковым основаниям. Для этого представим \(\displaystyle 49\) как \(\displaystyle 7^2{\small:}\)
\(\displaystyle7^{\frac{4}{9}} \cdot {\color{blue}{49}}^{\frac{5}{18}}=7^{\frac{4}{9}} \cdot (\color{blue}{7^2})^{\frac{5}{18}}{\small.}\)
Раскроем скобки, используя правило:
Cтепень в степени
Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и любых целых чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется
\(\displaystyle \left({a}^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}.\)
Получаем:
\(\displaystyle7^{\frac{4}{9}} \cdot (7^{\color{green}{2}})^{\color{blue}{\frac{5}{18}}}=7^{\frac{4}{9}}\cdot 7^{\color{green}{2} \cdot \color{blue}{\frac{5}{18}}}=7^{\frac{4}{9}}\cdot 7^{\frac{5}{9}}{\small.}\)
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются.
Значит,
\(\displaystyle7^{\frac{4}{9}}\cdot 7^{\frac{5}{9}}=7^{\frac{4}{9}+\frac{5}{9}}=7^{\frac{9}{9}}=7^{1}=7{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle7^{\frac{4}{9}} \cdot {49}^{\frac{5}{18}}=7^{\frac{4}{9}} \cdot ({7^2})^{\frac{5}{18}}=7^{\frac{4}{9}}\cdot 7^{2 \cdot \frac{5}{18}}=7^{\frac{4}{9}}\cdot 7^{\frac{5}{9}}=7^{\frac{4}{9}+\frac{5}{9}}=7^{\frac{9}{9}}=7^{1}=7{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 7{\small.}\)