Сторона ромба \(\displaystyle ABCD\) равна \(\displaystyle 4{\small ,}\) \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\small .}\) Найдите площадь треугольника \(\displaystyle ABO {\small ,}\) если синус острого угла ромба составляет \(\displaystyle 0{,}3{\small .}\)
Поскольку площадь ромба равна произведению квадрата стороны и синуса угла между сторонами
\(\displaystyle S_{ромб}=a^2 \sin \alpha {\small ,}\)
то
\(\displaystyle S_{ромб}=4^2 \cdot 0{,}3=16 \cdot 0{,}3= 4{,}8{\small .}\)
По свойству ромба диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) перпендикулярны, по свойству параллелограмма они делятся пополам точкой \(\displaystyle O.\) Тогда прямоугольные треугольники \(\displaystyle AOB{\small ,}\) \(\displaystyle COB{\small,}\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle AOD\) равны по двум катетам.
Значит, у треугольников \(\displaystyle AOB{\small ,}\) \(\displaystyle BOC{\small ,}\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle DOA\) равные площади и
\(\displaystyle S_{ABO}=\frac{1}{4} S_{ABCD}=\frac{1}{4} \cdot 4{,}8=1{,}2 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 1{,}2 {\small .}\)