В треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle C\) равен \(\displaystyle 90^{\circ}{\small , }\) площадь треугольника равна \(\displaystyle 24{\small .}\) Один из катетов больше другого на \(\displaystyle 2{\small .}\) Найдите длину меньшего катета.
Пусть катет \(\displaystyle AC=x{\small , }\) тогда катет \(\displaystyle BC=x+2{\small .}\)
Площадь треугольника равна \(\displaystyle S= \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC{\small , } \) при этом известно, что \(\displaystyle S=24{\small .} \) Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x \cdot(x+2)=24{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{ 1}{ 2}\cdot x\cdot 2=24{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x^2+x=24{\small , }\) \(\displaystyle \color{red}{\Big| \cdot 2}\)
\(\displaystyle x^2+2x=48{\small , } \)
\(\displaystyle x^2+2x-48=0{\small . } \)
Дискриминант равен \(\displaystyle {\text D}= 2^2-4\cdot (-48)=4+192=196=14^2{\small , }\)
Тогда корни равны
\(\displaystyle x_1=\frac{ -2+14}{ 2}=6{\small , } \)
\(\displaystyle x_2=\frac{ -2-14}{ 2}=-8{\small.}\)
Так как длина не может быть отрицательной, то катет \(\displaystyle AC=6{\small , } \) а \(\displaystyle BC=6+2=8{\small.}\)
Меньший катет равен \(\displaystyle 6{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle 6{\small . } \)