Барабан промышленной стиральной машины вращается, и из-за неравномерно разложенного белья на корпус действует вынуждающая сила. Корпус стоит на пружинах-амортизаторах, амплитуда его вертикальных колебаний зависит от частоты вращения барабана и вычисляется по формуле \(\displaystyle A=\frac {A_0}{\sqrt{\left(9-\omega^{\,2}\right)^{2}+16\omega^{\,2}}}{\small,}\) где \(\displaystyle A_0\)– положительная постоянная, \(\displaystyle \omega\) – частота вращения барабана (в \(\displaystyle c^{-1} \)).
При какой частоте вращения барабана корпус раскачивается сильнее всего (то есть амплитуда его вертикальных колебаний наибольшая)? Ответ дайте в \(\displaystyle c^{-1} {\small.}\)
\(\displaystyle c^{-1}\)
По условию:
- величина \(\displaystyle A_0\)– постоянная;
- частота вращения барабана – это \(\displaystyle \omega {\small;}\)
- амплитуда вертикальных колебаний корпуса стиральной машины– это \(\displaystyle A{\small.}\)
Требуется найти значение \(\displaystyle \omega {\small,}\) при котором достигается наибольшее значение \(\displaystyle A{\small.}\)
Проанализируем выражение для \(\displaystyle A{\small:}\)
\(\displaystyle A=\frac {A_0}{\sqrt{\left(9-\omega^{\,2}\right)^{2}+16\omega^{\,2}}}{\small.}\)
Заметим, что числитель выражения – положительная постоянная \(\displaystyle A_0{\small.}\) Значит, для достижения наибольшего значения \(\displaystyle A\) необходимо, чтобы знаменатель \(\displaystyle \sqrt{\left(9-\omega^{\,2}\right)^{2}+16\omega^{\,2}}\) был минимален.
Так как подкоренное выражение \(\displaystyle \left(9-\omega^{\,2}\right)^{2}+16\omega^{\,2}\) представляет собой сумму двух квадратов (то есть неотрицательно при любом \(\displaystyle \omega\)), то для достижения минимальности знаменателя необходимо, чтобы было минимальным подкоренное выражение.
То есть требуется найти, при каком значении \(\displaystyle \omega\) значение выражения \(\displaystyle \left(9-\omega^{\,2}\right)^{2}+16\omega^{\,2}\) будет наименьшим.
Сделаем замену \(\displaystyle \red x=\red{\omega^{2}}{\small.}\) Заметим, что тогда \(\displaystyle x \geqslant 0{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle f(x)=\left(9-\red x\right)^{2}+16\red x{\small.}\)
Исследуем функцию \(\displaystyle f(x)\) при \(\displaystyle x \geqslant 0{\small. }\)
1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)= \left(9-x\right)^{2}+16x{\small:}\)
\(\displaystyle f^{\,\prime}(x)=\left(\left(9-x\right)^{2}+16x\right)^{\prime}=2x-2{\small.}\)
2) Найдем нули функции \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)\) и интервалы знакопостоянства при \(\displaystyle x \geqslant0{\small.}\)
\(\displaystyle {[0;\,1)}{\small,}\)\(\displaystyle {(1;\, +\infty)}{\small.}\)
3) Определим знаки производной \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)\) на получившихся интервалах.
- на интервале \(\displaystyle \textcolor{Purple}{[0;\, 1)}\) функция \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)<0{\small,}\)
- на интервале \(\displaystyle \color{blue}{(1;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)>0{\small.}\)
Отметим знаки производной на рисунке:
4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x){\small .}\)
Значит, при функция \(\displaystyle f(x)\) достигает наименьшего значения в точке \(\displaystyle x=1{\small.}\)
То есть значение \(\displaystyle f(x)\) будет наименьшим, если
\(\displaystyle x=\omega^2=1{\small.}\)
Так как \(\displaystyle \omega \geqslant 0{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle \omega=1{\small.}\)
То есть амплитуда вертикальных колебаний корпуса стиральной машины \(\displaystyle A\) будет наибольшей, если частота вращения барабана составляет \(\displaystyle 1\,c^{-1} {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 1\,c^{-1} {\small.}\)