Выразим выделяемую тепловую мощность через ЭДС и сопротивление.
Для этого подставим выражение \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{r+R}\) вместо \(\displaystyle I\) в формулу \(\displaystyle P=I^2R{\small:}\)
\(\displaystyle P=I^2R= \left(\frac{\varepsilon}{r+R}\right)^2\cdot R{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle P=\frac{\varepsilon^2}{(r+R)^2}\cdot R=\frac{\varepsilon^2R}{(r+R)^2}{\small.}\)
Подставим в полученное выражение числовые значения величин \(\displaystyle \varepsilon=50\)В и \(\displaystyle r = 1\) Ом из условия задачи:
\(\displaystyle P=\frac{50^2R}{(1+R)^2}\)
и получим функцию от переменной \(\displaystyle R{\small:}\)
\(\displaystyle P(R)=\frac{2500R}{(R+1)^2}{\small.}\)
По условию требуется найти максимальную тепловую мощность.
Заметим, что сопротивление нагрузки \(\displaystyle R\) не может быть отрицательным.
Значит, требуется найти наибольшее значение функции \(\displaystyle P(R)\) при \(\displaystyle R \geqslant 0{\small.}\)
1) Найдем производную функции \(\displaystyle P(R)=\frac{2500R}{(R+1)^2}{\small:}\)
\(\displaystyle P^{\,\prime}(R)=\left(\frac{2500R}{(R+1)^2}\right)^{\prime}=\frac{2500(1-R)}{(R+1)^3}{\small.}\)
Согласно правилам дифференцирования, \(\displaystyle (\color{blue}{c}\cdot f(x))^{\prime}=\color{blue}{c}\cdot(f(x))^{\prime}\) для любого числа \(\displaystyle c{\small.}\) Значит,
\(\displaystyle\left(\frac{2500R}{(R+1)^2}\right)^{\prime}=\left(\color{blue}{2500}\cdot \frac{R}{(R+1)^2}\right)^{\prime}=\color{blue}{2500}\cdot \left(\frac{R}{(R+1)^2}\right)^{\prime}{\small.}\)
Воспользуемся правилом дифференцирования частного:
ПравилоПроизводная частного
\(\displaystyle\left(\frac{\color{green}{f(x)}}{\color{blue}{g(x)}}\right)^{\prime}=\frac{\left(\color{green}{f(x)}\right)^{\prime}\cdot \color{blue}{g(x)} - \color{green}{f(x)}\cdot\left(\color{blue}{g(x)}\right)^{\prime}}{\left(\color{blue}{g(x)}\right)^2}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle\left(\frac{\color{green}{R}}{\color{blue}{(R+1)^2}}\right)^{\prime}=\frac{\left(\color{green}{R}\right)^{\prime}\cdot\color{blue}{(R+1)^2}-\color{green}{R} \cdot \left(\color{blue}{(R+1)^2}\right)^{\prime}}{\left(\color{blue}{(R+1)^2}\right)^2}{\small .}\)
Вычислим производные:
- \(\displaystyle \left(\color{green}{R}\right)^{\prime}=\color{green}{1}{\small,} \)
- \(\displaystyle \left(\color{blue}{(R+1)^2}\right)^{\prime}=(R^2+2R+1)^{\prime}=2R+2= \color{blue}{2\cdot (R+1)}{\small.} \)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{\left(\color{green}{R}\right)^{\prime}\cdot\color{blue}{(R+1)^2}-\color{green}{R} \cdot \left(\color{blue}{(R+1)^2}\right)^{\prime}}{\left(\color{blue}{(R+1)^2}\right)^2}&=\frac{\color{green}{1}\cdot{(R+1)^2}-R \cdot\color{blue}{2(R+1)}}{(R+1)^4}=\\[5px]&=\frac{(R+1) \left(R+1-2R\right)}{(R+1)^4}=\frac{(R+1)(1-R)}{(R+1)^4}{\small.}\end{aligned}\)
Сократим полученную дробь на \(\displaystyle R+1{ \small . } \) Так как \(\displaystyle R\geqslant 0{ \small ,} \) то \(\displaystyle R+1>0{ \small .} \)
\(\displaystyle \frac{\cancel{\color{blue}{(R+1)}}(1-R)}{\color{blue}{(R+1)}^{\cancel{4}^3}}=\frac{1-R}{(R+1)^3}{ \small .} \)
Таким образом,
\(\displaystyle \left(\frac{R}{(R+1)^2}\right)^{\prime}=\frac{1-R}{(R+1)^3}{ \small ,} \)
а
\(\displaystyle P^{\,\prime}(R)=2500\cdot \left(\frac{R}{(R+1)^2}\right)^{\prime}=\frac{2500(1-R)}{(R+1)^3}{\small.}\)
2) Найдем интервалы знакопостоянства функции
\(\displaystyle P^{\,\prime}(R)\) при \(\displaystyle R \geqslant 0{\small.}\)
\(\displaystyle {[0;\,1)}{\small,}\)\(\displaystyle {(1;\, +\infty)}{\small}\) – интервалы знакопостоянства \(\displaystyle P^{\,\prime}(R)\) при \(\displaystyle R \geqslant 0{\small.}\)
Найдем корни числителя этого рационального выражения:
\(\displaystyle 2500(1-R)=0{\small ,}\)
\(\displaystyle 1-R=0{\small ,} \)
\(\displaystyle R=1{\small.}\)
Найдем корни знаменателя:
\(\displaystyle (R+1)^3=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle R=-1{\small.}\)
Учитывая, что по смыслу задачи \(\displaystyle R\geqslant 0{\small,}\) получаем:
Таким образом, интервалы знакопостоянства производной:
\(\displaystyle {[0;\,1)}{\small,}\)\(\displaystyle {(1;\, +\infty)}{\small.}\)
3) Определим знаки производной \(\displaystyle P^{\,\prime}(R)\) на получившихся интервалах.
- на интервале \(\displaystyle \textcolor{Purple}{[0;\, 1)}\) функция \(\displaystyle P^{\,\prime}(R)>0{\small,}\)
- на интервале \(\displaystyle \color{blue}{(1;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle P^{\,\prime}(R)<0{\small.}\)
Определим знак функции \(\displaystyle P^{\,\prime}(R)=\frac{2500(1-R)}{(R+1)^3}\) на каждом из интервалов:
\(\displaystyle \textcolor{Purple}{[0;\,1)}{\small,}\)\(\displaystyle \color{blue}{(1;\, +\infty)}{\small.}\)
Для этого выберем по точке на каждом из интервалов и определим в этой точке знак функции. Получаем:
- для \(\displaystyle \textcolor{Purple}{R=0{,}5 \in [0;\,1)}\) знак \(\displaystyle P^{\,\prime}(\textcolor{Purple}{0{,}5})=\frac{2500(1-0{,}5)}{(0{,}5+1)^3} \color{red}{>}0{\small ;}\)
- для \(\displaystyle \textcolor{blue}{R=2 \in(1;\, +\infty)}\) знак \(\displaystyle P^{\,\prime}(\color{blue}{2})=\frac{2500(1-2)}{(2+1)^3} \color{red}{<}0{\small .}\)
Значит,
- на интервале \(\displaystyle \textcolor{Purple}{[0;\,1)}\) функция \(\displaystyle P^{\,\prime}(R)>0{\small,}\)
- на интервале \(\displaystyle \color{blue}{(1;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle P^{\,\prime}(R)<0{\small.}\)
Отметим знаки производной на рисунке:
4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle P(R){\small .}\)
Получим, что \(\displaystyle P(R)\) возрастает на \(\displaystyle [0;\,1)\) и убывает на \(\displaystyle (1;\, +\infty){\small :}\)
Воспользуемся правилом
ПравилоЕсли для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)>0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)<0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Значит, при \(\displaystyle R \geqslant 0\) функция \(\displaystyle P(R)\) достигает наибольшего значения в точке \(\displaystyle R=1{\small.}\)
Найдем это значение, подставив \(\displaystyle R=\color{blue}{1}\) в \(\displaystyle P(R)=\frac{2500\color{blue}{R}}{(\color{blue}{R}+1)^2}{\small:}\)
\(\displaystyle P(\color{blue}{1})=\frac{2500 \cdot \color{blue}{1}}{(\color{blue}{1}+1)^2}=\frac{2500}{4}=625{\small.}\)
Таким образом, наибольшая тепловая мощность, которая может выделяться нагрузкой, равна \(\displaystyle 625\)Вт.
Ответ: \(\displaystyle 625\)Вт.