По условию:
- величины \(\displaystyle k{\small,}\,\theta_{0}{\small,}\,n\) и \(\displaystyle T\)– постоянные;
- период волны – это \(\displaystyle \tau {\small;}\)
- амплитуда вынужденных колебаний корабля – это \(\displaystyle A{\small.}\)
Требуется найти значение \(\displaystyle \tau {\small,}\) при котором достигается наибольшее значение \(\displaystyle A{\small.}\)
Заметим, что выражение для \(\displaystyle A\) очень громоздко, к тому же содержит квадратный корень. Но, так как \(\displaystyle A>0{\small,}\) то максимумы \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle A^2\) достигаются в одной точке.
Поэтому будем искать, при каком \(\displaystyle \tau\) значение \(\displaystyle A^2\) будет наибольшим.
\(\displaystyle A^2=(k \theta_{0} )^2 \cdot \frac {\tau^{4}}{\tau^{4}+(n-2)\tau^{2}T^{\,2}+T^{\,4}}{\small.}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}A^2&= \left(k \theta_{0}\frac {\tau^{2}}{\sqrt{\left(T^{\,2}-\tau^{2}\right)^{2}+n\tau^{2}T^{\,2}}}\right)^{2}=(k \theta_{0} )^2 \cdot \left(\frac {\tau^{2}}{\sqrt{\left(T^{\,2}-\tau^{2}\right)^{2}+n\tau^{2}T^{\,2}}}\right)^{2}=\\[5px]&=(k \theta_{0} )^2 \cdot \frac {\tau^{4}}{\left(T^{\,2}-\tau^{2}\right)^{2}+n\tau^{2}T^{\,2}}=(k \theta_{0} )^2 \cdot \frac {\tau^{4}}{\tau^{4}-2\tau^{2}T^{\,2}+T^{\,4}+n\tau^{2}T^{\,2}}=\\[5px]&=(k \theta_{0} )^2 \cdot \frac {\tau^{4}}{\tau^{4}+(n-2)\tau^{2}T^{\,2}+T^{\,4}}{\small.}\end{aligned}\)
Переменная \(\displaystyle \tau\) входит в выражение для \(\displaystyle A^2\) только во второй и четвёртой степенях.
Сделаем замену \(\displaystyle \red x=\red{\tau^{2}}{\small.}\) Тогда \(\displaystyle \tau^{4}=\left(\red{\tau^{2}}\right)^{2}=\red x^2{\small.}\)
Заметим, что \(\displaystyle x>0{\small, }\)так как по смыслу задачи \(\displaystyle \tau =\not 0{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle A^2=(k \theta_{0} )^2 \cdot \frac {\red x^2}{\red x^2+(n-2)T^{\,2}\red x+T^{\,4}}{\small.}\)
Пусть
\(\displaystyle f(x)= \frac {x^2}{x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4}}{\small,}\)
тогда
\(\displaystyle A^2=(k \theta_{0} )^2 \cdot f(x){\small.}\)
Так как множитель \(\displaystyle (k \theta_{0} )^2\)– положительная постоянная, функции \(\displaystyle A^2\) и \(\displaystyle f(x)\) достигают наибольшего значения при одних и тех же значениях переменной \(\displaystyle x{\small.}\)
Поэтому будем исследовать функцию \(\displaystyle f(x)\) при \(\displaystyle x>0{\small. }\)
При \(\displaystyle x>0\) знаменатель\(\displaystyle x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4}>0{\small,}\)
то есть \(\displaystyle f(x)\) определена при всех \(\displaystyle x>0{\small.}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}x^2&+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4}=x^2+nT^{\,2}x-2T^{\,2}x+T^{\,4}=\\[5px]&=x^2-2T^{\,2}x+T^{\,4}+nT^{\,2}x=\left( x-T^{\,2}\right)^2+nT^{\,2}x{\small.}\end{aligned}\)
Заметим, что
- \(\displaystyle \left( x-T^{\,2}\right)^2 \geqslant 0\) как полный квадрат;
- \(\displaystyle nT^{\,2}x>0{\small,}\) так как \(\displaystyle n{\small,}\, x\) и\(\displaystyle T\) положительны.
Значит, сумма
\(\displaystyle \left( x-T^{\,2}\right)^2+nT^{\,2}x>0{\small,}\)
то есть
\(\displaystyle x^2+(n-2)xT^{\,2}x+T^{\,4}>0{\small.}\)
1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)= \frac {x^2}{x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4}}{\small:}\)
\(\displaystyle f^{\,\prime}(x)=\left(\frac {x^2}{x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4}}\right)^{\prime}=\frac{T^{\,2}x \left((n-2)x+2 T^{\,2}\right)}{\left(x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4}\right)^{2}}{\small.}\)
Воспользуемся правилом дифференцирования частного:
ПравилоПроизводная частного
\(\displaystyle\left(\frac{\color{green}{u(x)}}{\color{blue}{v(x)}}\right)^{\prime}=\frac{\left(\color{green}{u(x)}\right)^{\prime}\cdot \color{blue}{v(x)} - \color{green}{u(x)}\cdot\left(\color{blue}{v(x)}\right)^{\prime}}{\left(\color{blue}{v(x)}\right)^2}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}f^{\,\prime}(x)&=\left(\frac{\color{green}{x^2}}{\color{blue}{x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4}}}\right)^{\prime}=\\[10px]&=\frac{\left(\color{green}{x^2}\right)^{\prime}\cdot{\left( \color{blue}{x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} }\right)}-\color{green}{x^2} \cdot \left(\color{blue}{x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} }\right)^{\prime}}{\left(\color{blue}{\color{blue}{x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} }}\right)^2}{\small .}\end{aligned}\)
Вычислим производные:
- \(\displaystyle \left(\color{green}{x^2}\right)^{\prime}=\color{green}{2x}{\small,} \)
- \(\displaystyle \left(\color{blue}{x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} }\right)^{\prime}=\left(x^2\right)^{\prime}+ \left((n-2)T^{\,2}x \right)^{\prime}+\left(T^{\,4}\right)^{\prime}=\color{blue}{2x+(n-2)T^{\,2}}{\small.} \)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}f^{\,\prime}(x)&=\frac{\color{green}{2x}\cdot{\left( x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} \right)}-x^2 \cdot \left(\color{blue}{2x+(n-2)T^{\,2}}\right)}{\left(x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} \right)^2}=\\[10px]&=\frac{\cancel{2x^3}+2(n-2)T^{\,2}x^2+2T^{\,4}x-\cancel{2x^3}-(n-2)T^{\,2}x^2}{\left(x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} \right)^2}=\\[10px]&=\frac{2(n-2)T^{\,2}x^2+2T^{\,4}x-(n-2)T^{\,2}x^2}{\left(x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} \right)^2}=\frac{(n-2)T^{\,2}x^2+2T^{\,4}x}{\left(x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} \right)^2}=\\[10px]&=\frac{T^{\,2}x \left((n-2)x+2 T^{\,2}\right)}{\left(x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} \right)^2}{\small.}\end{aligned}\)
Таким образом,
\(\displaystyle f^{\,\prime}(x)=\frac{T^{\,2}x \left((n-2)x+2 T^{\,2}\right)}{\left(x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} \right)^2}{\small.}\)
2) Найдем нули функции \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)\) и интервалы знакопостоянства при \(\displaystyle x >0{\small.}\)
Так как при \(\displaystyle x>0\)
знаменатель \(\displaystyle \left(x^2+(n-2)xT^{\,2}+T^{\,4}\right)^{2}>0\)
Ранее было доказано, что при \(\displaystyle x>0\)
\(\displaystyle x^2+(n-2)xT^{\,2}+T^{\,4}>0{\small.}\)
и множитель \(\displaystyle T^{\,2}x>0{\small,}\)
У нас \(\displaystyle x>0\) и по условию \(\displaystyle Т=14{},7 =\not 0{\small,}\) поэтому их произведение
\(\displaystyle T^{\,2} \cdot x>0{\small.}\)
то \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)=0 \) при\(\displaystyle (n-2)x+2T^{\,2}=0{\small}\)
или при
\(\displaystyle x=\frac{2T^{\,2}}{2-n} {\small.}\)
Решим уравнение \(\displaystyle (n-2)x+2T^{\,2}=0{\small}\) относительно переменной \(\displaystyle x{\small.}\)
Для этого перепишем уравнение в виде
\(\displaystyle (n-2)x=-2T^{\,2}\)
и выразим \(\displaystyle x {\small :}\)
\(\displaystyle x=-\frac{2T^{\,2}}{n-2} {\small.}\)
Внесём минус в знаменатель и получим:
\(\displaystyle x=\frac{2T^{\,2}}{-(n-2)} {\small,}\)
\(\displaystyle x=\frac{2T^{\,2}}{2-n} {\small.}\)
Введем обозначение \(\displaystyle x_0=\frac{2T^{\,2}}{2-n} {\small.}\)
Заметим, что \(\displaystyle x_0>0{\small,}\)
По условию:
\(\displaystyle T=14{,}7{\small,}\)\(\displaystyle n=0{,}0792{\small.}\)
Поэтому
\(\displaystyle x_0=\frac{2T^{\,2}}{2-n}= \frac{2 \cdot 14{,}7^{\,2}}{2-0{,}0792}>0{\small.}\)
поэтому интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)\) при \(\displaystyle x > 0{\small:}\)\(\displaystyle {(0;\,x_0)}{\small,}\)\(\displaystyle {(x_0;\, +\infty)}{\small.}\)
При \(\displaystyle x_0 > 0\) получаем расстановку на координатной прямой:
3) Определим знаки производной \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)\) на получившихся интервалах.
- на интервале \(\displaystyle \textcolor{Purple}{(0;\, x_0)}\) функция \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)>0{\small,}\)
- на интервале \(\displaystyle \color{blue}{(x_0;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)<0{\small.}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)=\frac{T^{\,2}x \left((n-2)x+2 T^{\,2}\right)}{\left(x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} \right)^2}\) на каждом из интервалов:
\(\displaystyle \textcolor{Purple}{(0;\,x_0)}{\small,}\)\(\displaystyle \color{blue}{(x_0;\, +\infty)}{\small.}\)
Так как знаменатель \(\displaystyle \left(x^2+(n-2)T^{\,2}x+T^{\,4} \right)^2\) и множитель \(\displaystyle T^{\,2}x\) положительны, нам достаточно определить знак выражения \(\displaystyle \color{green}{(n-2)x+2 T^{\,2}}\) на каждом интервале.
Рассмотрим линейную функцию \(\displaystyle y=\color{green}{(n-2)x+2 T^{\,2}}{\small.}\)
1. Коэффициент при переменной \(\displaystyle x\) равен\(\displaystyle n-2\) и при \(\displaystyle n=0{,}0792\)
\(\displaystyle n-2=0{,}0792-2<0{\small,}\)
значит, функция \(\displaystyle \color{green}{y}=(n-2)x+2 T^{\,2}\) является убывающей.
2. \(\displaystyle y=0\) при \(\displaystyle x=x_0=\frac{2T^{\,2}}{2-n} {\small.}\) Значит, график функции пересекает ось абсцисс в точке с координатой\(\displaystyle x_0{\small .}\)
Тогда график функции \(\displaystyle \color{green}{y}=\color{green}{(n-2)x+2 T^{\,2}}\) схематично можно изобразить так:
Видим, что
- при \(\displaystyle x \in (0;\,x_0)\) \(\displaystyle y=\color{green}{(n-2)x+2 T^{\,2}}>0{\small ;}\)
- при \(\displaystyle x \in (x_0;\,+\infty)\) \(\displaystyle y=\color{green}{(n-2)x+2 T^{\,2}}<0{\small ;}\)
Значит,
- на интервале \(\displaystyle \textcolor{Purple}{(0;\,x_0)}\) функция \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)>0{\small,}\)
- на интервале \(\displaystyle \color{blue}{(x_0;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\,\prime}(x)<0{\small.}\)
Отметим знаки производной на рисунке:
4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x){\small .}\)
Получим, что \(\displaystyle f(x)\) возрастает на \(\displaystyle (0;\,x_0)\) и убывает на \(\displaystyle (x_0;\, +\infty){\small :}\)
Воспользуемся правилом
ПравилоЕсли для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)>0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)<0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Значит, при \(\displaystyle x >0\) функция \(\displaystyle f(x)\) достигает наибольшего значения в точке \(\displaystyle x_0=\frac{2T^{\,2}}{2-n}{\small.}\)
Но тогда в этой же точке достигают наибольшего значения функции \(\displaystyle A^2=(k \theta_{0} )^2 \cdot f(x){\small}\) и \(\displaystyle A{\small.}\)
То есть амплитуда вынужденных колебаний будет наибольшей, если
\(\displaystyle x=\tau^2=\frac{2T^{\,2}}{2-n}{\small.}\)
Подставим \(\displaystyle T=14{,}7{\small,}\)\(\displaystyle n=0{,}0792{\small:}\)
\(\displaystyle \tau^2=\frac{2 \cdot 14{,}7^{\,2}}{2-0{,}0792}=\frac{2 \cdot 14{,}7^{\,2}}{1{,}9208}{\small.}\)
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на \(\displaystyle 2{\small:}\)
\(\displaystyle \tau^2=\frac{14{,}7^{\,2}}{0{,}9604}=\frac{14{,}7^{\,2}}{0{,}98^{\,2}}=\left(\frac{14{,}7}{0{,}98} \right)^{2}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle \tau>0{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle \tau=\sqrt {\left(\frac{14{,}7}{0{,}98} \right)^{2}}=\frac{14{,}7}{0{,}98} =\frac{1470}{98}=15{\small.}\)
То есть амплитуда вынужденных колебаний будет наибольшей, если период волны составляет \(\displaystyle 15\)секунд.
Ответ: \(\displaystyle 15\)с.