Найдите длину вектора \(\displaystyle \overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c} .\)
Сначала по рисунку найдем координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a},\) \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {c},\) потом найдем координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c} ,\) а затем квадрат длины вектора.
По рисунку векторы \(\displaystyle \overrightarrow {a},\) \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {c}\) отложены от начала координат, точка \(\displaystyle O(0;0)\)– начало векторов.
Обозначим концы векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a},\) \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {c}\) через \(\displaystyle A,\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) соответственно.
Точки \(\displaystyle A,\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) имеет координаты \(\displaystyle A(3;2),\) \(\displaystyle B(1;2)\) и \(\displaystyle C(-2;-4).\)
Значит, координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a},\) \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {c}\) равны
\(\displaystyle \overrightarrow {a}(3;2),\) \(\displaystyle \overrightarrow {b}(1;2)\) и \(\displaystyle \overrightarrow {c}(-2;-4).\)
Так как
\(\displaystyle \overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}=(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b})+\overrightarrow {c},\)
можно сначала найти координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {a}-\overrightarrow {b},\) а затем координаты \(\displaystyle (\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b})+\overrightarrow {c}.\)
Поскольку каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}\) равны
\(\displaystyle (3-1;2-2),\)
или
\(\displaystyle (2;0).\)
Так как каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов, координаты вектора \(\displaystyle (\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b})+\overrightarrow {c}\) равны
\(\displaystyle (2 +(-2);0+(-4)),\)
или
\(\displaystyle (0;-4).\)
Длина вектора с координатами \(\displaystyle (0; -4)\) равна
\(\displaystyle \sqrt{0^2+(-4)^2}=\sqrt{0+16}=\sqrt{16}=4.\)
Ответ: \(\displaystyle 4.\)