Найдите квадрат длины вектора \(\displaystyle \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {CD}.\)
Сначала по рисунку найдем координаты точек \(\displaystyle A,\) \(\displaystyle B,\) \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D,\) потом координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow {AB}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {CD}\) и их суммы, и затем длину вектора суммы.
Координаты точек \(\displaystyle A,\) \(\displaystyle B,\) \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D{:}\)
\(\displaystyle A(2;-3),\) \(\displaystyle B(5;2),\) \(\displaystyle C(3;1),\) \(\displaystyle D(-2;2).\)
Координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow {AB}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {CD}{:}\)
\(\displaystyle \overrightarrow {AB}(5-2;2-(-3)),\) \(\displaystyle \overrightarrow {CD}(-2-3;2-1),\)
или
\(\displaystyle \overrightarrow {AB}(3;5),\) \(\displaystyle \overrightarrow {CD}(-5;1).\)
Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Значит, координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}\) равны
\(\displaystyle (3+(-5);5+1),\)
или
\(\displaystyle (-2;6).\)
Длина вектора \(\displaystyle \overrightarrow {a}(x;y)\) вычисляется по формуле
\(\displaystyle |\overrightarrow {a}|=\sqrt{x^2+y^2}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle |\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}|=\sqrt{(-2)^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}.\)
Тогда квадрат длины вектора суммы равен \(\displaystyle 40.\)
Ответ: \(\displaystyle 40.\)