Найдите квадрат длины вектора \(\displaystyle \overrightarrow {a}- \overrightarrow {b}.\)
Сначала по рисунку найдем координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b},\) потом найдем координаты их разности, а затем квадрат длины.
Обозначим начало и конец вектора \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) через \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B.\)
Обозначим начало и конец вектора \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) через \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D.\)
Координаты точек \(\displaystyle A,\) \(\displaystyle B,\) \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D{:}\)
\(\displaystyle A(2;-3),\) \(\displaystyle B(5;-1),\) \(\displaystyle C(-1;-1),\) \(\displaystyle D(-2;2).\)
Координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow {AB}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {CD}{:}\)
\(\displaystyle \overrightarrow {AB}(5-2;-1-(-3)),\) \(\displaystyle \overrightarrow {CD}(-2-(-1);2-(-1)),\)
или
\(\displaystyle \overrightarrow {AB}(3;2),\) \(\displaystyle \overrightarrow {CD}(-1;3).\)
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Значит, координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {CD}\) равны
\(\displaystyle (3-(-1);2-3),\)
или
\(\displaystyle (4;-1).\)
Тогда координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}\) равны
\(\displaystyle (4;-1).\)
Длина вектора \(\displaystyle \overrightarrow {a}(x;y)\) вычисляется по формуле
\(\displaystyle |\overrightarrow {a}|=\sqrt{x^2+y^2}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle |\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.\)
Тогда квадрат длины вектора суммы равен \(\displaystyle 17.\)
Ответ: \(\displaystyle 17.\)