Даны координаты точек \(\displaystyle P(-4;6),\) \(\displaystyle Q(2;5)\) и \(\displaystyle R(4;-4)\) параллелограмма \(\displaystyle PQRS.\) Найдите координаты точки \(\displaystyle S.\)
Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то
\(\displaystyle \overrightarrow {PS}=\overrightarrow {QR}.\)
Сначала найдем координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {QR},\) а затем найдем координаты точки \(\displaystyle S.\)
Так как координаты точек \(\displaystyle Q(2;5)\) и \(\displaystyle R(4;-4)\) даны, то координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {QR}{:}\)
\(\displaystyle \overrightarrow {QR}(4-2;-4-5),\)
\(\displaystyle \overrightarrow {QR}(2;-9).\)
По условию известны координаты точки \(\displaystyle P(-4;6).\)
Обозначим координаты точки \(\displaystyle S\) через \(\displaystyle (x;y).\)
Значит, координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {PS}\) равны
\(\displaystyle \overrightarrow {PS}(x-(-4);y-6).\)
Поскольку векторы \(\displaystyle \overrightarrow {PS}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {QR}\) равны, то равны и их координаты,
\(\displaystyle \overrightarrow {PS}(2;-9).\)
Следовательно, выполняются соотношения
\(\displaystyle x-(-4)=2\) и \(\displaystyle y-6=-9,\)
\(\displaystyle x=2+(-4)\) и \(\displaystyle y=-9+6,\)
\(\displaystyle x=-2\) и \(\displaystyle y=-3.\)
Таким образом, координаты точки \(\displaystyle S\)
\(\displaystyle S (-2;-3).\)
Ответ: \(\displaystyle {S}(-2;-3).\)