Даны координаты точек \(\displaystyle A(3;1),\) \(\displaystyle B(9;4)\) и \(\displaystyle C(7;-7)\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD.\) Найдите координаты точки \(\displaystyle D.\)
Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то
\(\displaystyle \overrightarrow {AD}=\overrightarrow {BC}.\)
Сначала найдем координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {BC},\) а затем найдем координаты точки \(\displaystyle D.\)
Так как координаты точек \(\displaystyle B(9;4)\) и \(\displaystyle C(7;-7)\) даны, то координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {BC}{:}\)
\(\displaystyle \overrightarrow {BC}(7-9;-7-4),\)
\(\displaystyle \overrightarrow {BC}(-2;-11).\)
По условию известны координаты точки \(\displaystyle A(3;1).\)
Обозначим координаты точки \(\displaystyle D\) через \(\displaystyle (x;y).\)
Значит, координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {AD}\) равны
\(\displaystyle \overrightarrow {AD}(x-3;y-1).\)
Поскольку векторы \(\displaystyle \overrightarrow {AD}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {BC}\) равны, то равны и их координаты,
\(\displaystyle \overrightarrow {AD}(-2;-11).\)
Следовательно, выполняются соотношения
\(\displaystyle x-3=-2\) и \(\displaystyle y-1=-11,\)
\(\displaystyle x=-2+3\) и \(\displaystyle y=-11+1,\)
\(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle y=-10.\)
Таким образом, координаты точки \(\displaystyle D\)
\(\displaystyle D (1;-10).\)
Ответ: \(\displaystyle {D}(1;-10).\)