Даны координаты точек \(\displaystyle M(4;5),\) \(\displaystyle N(10;3)\) и \(\displaystyle K(-1;-3)\) параллелограмма \(\displaystyle MNKL.\) Найдите координаты точки \(\displaystyle L.\)
Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то
\(\displaystyle \overrightarrow {ML}=\overrightarrow {NK}.\)
Сначала найдем координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {NK},\) а затем найдем координаты точки \(\displaystyle L.\)
Так как координаты точек \(\displaystyle N(10;3)\) и \(\displaystyle K(-1;-3)\) даны, то координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {NK}{:}\)
\(\displaystyle \overrightarrow {NK}(-1-10;-3-3),\)
\(\displaystyle \overrightarrow {NK}(-11;-6).\)
По условию известны координаты точки \(\displaystyle M(4;5).\)
Обозначим координаты точки \(\displaystyle L\) через \(\displaystyle (x;y).\)
Значит, координаты вектора \(\displaystyle \overrightarrow {ML}\) равны
\(\displaystyle \overrightarrow {ML}(x-4;y-5).\)
Поскольку векторы \(\displaystyle \overrightarrow {ML}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {NK}\) равны, то равны и их координаты,
\(\displaystyle \overrightarrow {ML}(-11;-6).\)
Следовательно, выполняются соотношения
\(\displaystyle x-4=-11\) и \(\displaystyle y-5=-6,\)
\(\displaystyle x=-11+4\) и \(\displaystyle y=-6+5,\)
\(\displaystyle x=-7\) и \(\displaystyle y=-1.\)
Таким образом, координаты точки \(\displaystyle L\)
\(\displaystyle L (-7;-1).\)
Ответ: \(\displaystyle {L}(-7;-1).\)