Найдите трёхзначное натуральное число, большее \(\displaystyle 500\small,\) которое при делении на \(\displaystyle 8\) и на \(\displaystyle 5\) даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решим задачу перебором. Заметим, что:
- Остаток при делении на \(\displaystyle 5\) и на \(\displaystyle 8\) не больше \(\displaystyle 9\small.\)
- Возьмем число из условия задачи, уменьшенное на этот остаток.
Полученное число должно делиться на \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 8{\small,}\) то есть на \(\displaystyle 40{\small.}\) - Увеличивая число обратно на этот остаток, получаем исходное число.
2. Число, делящееся на \(\displaystyle 40{ \small ,}\) оканчивается нулем. Добавляя остаток не больше \(\displaystyle 9{ \small ,}\) мы записываем этот остаток в конец числа вместо нуля.
Будем последовательно искать требуемое число:
- берем трехзначное число \(\displaystyle \geqslant 500{ \small ,}\) делящееся на \(\displaystyle 40\small,\)
- подбираем последнюю цифру так, что среднее арифметическое крайних цифр равно средней цифре.
| Число, делящееся на \(\displaystyle 40\) | Третья цифра | Проверка равенства остатков от деления на \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 8\) |
| \(\displaystyle 520\) | При любой последней цифре, среднее арифметическое крайних цифр больше средней цифры. | |
| \(\displaystyle 560\) | берем \(\displaystyle 567\) тогда \(\displaystyle \frac{5+7}{2}=6\) | Остаток от деления на \(\displaystyle 5\) равен \(\displaystyle \color{blue}{2}\) Остаток от деления на \(\displaystyle 8\) равен \(\displaystyle \color{blue}{7}\) \(\displaystyle \color{blue}{2}\,\color{red}{\cancel{=}}\,\color{blue}{7}\) |
| \(\displaystyle 600\) | При любой последней цифре, среднее арифметическое крайних цифр больше средней цифры. | |
| \(\displaystyle 640\) | берем \(\displaystyle 642\) тогда \(\displaystyle \frac{6+2}{2}=4\) | Остаток от деления на \(\displaystyle 5\) равен \(\displaystyle 2\) Остаток от деления на \(\displaystyle 8\) равен \(\displaystyle 2\) \(\displaystyle \color{blue}{2}\color{green}{=}\color{blue}{2}\) |
Тогда трехзначное число \(\displaystyle 642\) удовлетворяет всем условиям задачи:
- оно \(\displaystyle \geqslant 500{\small,}\)
- оно дает одинаковые остатки от деления на \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 8\) (остаток \(\displaystyle 2\)),
- среднее арифметическое его крайних цифр равно средней цифре.
Один из возможных ответов: \(\displaystyle 642{\small.}\)
Число \(\displaystyle 642\) не является единственным ответом. Также подходит число \(\displaystyle 963{\small.}\)