Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на \(\displaystyle 4{\small,}\) и на \(\displaystyle 5\small,\) и на \(\displaystyle 6\) даёт в остатке \(\displaystyle 2\) и все цифры в записи которого чётные. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение 1.
Решим задачу перебором. Заметим, что:
1. Все цифры числа четные.
- Возьмем число из условия задачи, уменьшенное на \(\displaystyle 2{\small.}\) Тогда оно должно делиться на \(\displaystyle 4{\small,}\) \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 6{\small.}\)
Поскольку \(\displaystyle НОК(4,5,6)=60{\small,}\) то это число будет делиться на \(\displaystyle 60{\small.}\) - Увеличивая число обратно на \(\displaystyle 2\small,\) получаем исходное число. При этом оно при делении на \(\displaystyle 60\) в остатке дает \(\displaystyle 2{\small.}\)
Будем брать числа, делящиеся на \(\displaystyle 60\small,\) и добавлять к ним \(\displaystyle 2\small.\)
Наименьшее трехзначное число, кратное \(\displaystyle 60\small,\) – это \(\displaystyle 120{\small.}\)
| Числа, делящиеся на \(\displaystyle 60\small,\) взятые по возрастанию | Добавляем \(\displaystyle 2\) | Четность цифр |
| \(\displaystyle 120\) | \(\displaystyle 120+2=122\) | \(\displaystyle 1\) – нечетная цифра |
| \(\displaystyle 180\) | \(\displaystyle 180+2=182\) | \(\displaystyle 1\) – нечетная цифра |
| \(\displaystyle 240\) | \(\displaystyle 240+2=242\) | все цифры четные |
Тогда число \(\displaystyle 242\) удовлетворяет всем условиям задачи.
Один из возможных ответов: \(\displaystyle 242{\small.}\)
Число \(\displaystyle 242\) не является единственным ответом. Также подходят числа:
\(\displaystyle 422,\, 482, 602,\, 662,\, 842{\small.}\)
Решение 2.
Решим задачу перебором. Заметим, что:
1. Все цифры числа четные.
Число, делящееся на \(\displaystyle 5{\small,}\) заканчивается на
\(\displaystyle 0\) или \(\displaystyle 5{\small.}\)
Тогда число, дающее остаток \(\displaystyle 2\) от деления на \(\displaystyle 5\) заканчивается на
\(\displaystyle 2\) или \(\displaystyle 7{\small.}\)
Поскольку все цифры числа четные, то на конце может стоять только \(\displaystyle 2{\small.}\)
Трехзначных чисел,
- состоящих только из четных цифр,
- оканчивающихся на \(\displaystyle 2{\small,}\)
не более \(\displaystyle 20{\small.}\)
| Число | Остаток от деления на \(\displaystyle 5\) | Остаток от деления на \(\displaystyle 4\) | Остаток от деления на\(\displaystyle 6\) |
| \(\displaystyle 202\) | \(\displaystyle \color{green}{2}\) | \(\displaystyle \color{green}{2}\) | \(\displaystyle \color{red}{4}\) |
| \(\displaystyle 222\) | \(\displaystyle \color{green}{2}\) | \(\displaystyle \color{green}{2}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) |
| \(\displaystyle 242\) | \(\displaystyle \color{green}{2}\) | \(\displaystyle \color{green}{2}\) | \(\displaystyle \color{green}{2}\) |
Тогда число \(\displaystyle 242\) удовлетворяет всем условиям задачи.
Один из возможных ответов: \(\displaystyle 242{\small.}\)
Число \(\displaystyle 242\) не является единственным ответом. Также подходят числа:
\(\displaystyle 422,\, 482, 602,\, 662,\, 842{\small.}\)