Найдите чётное пятизначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решим задачу перебором. Заметим, что:
Отметим, что если взять пятизначное число со всеми цифрами \(\displaystyle \geqslant 2{\small,}\) то их сумма будет меньше их произведения.
Значит, чтобы сумма и произведение были равны, среди цифр числа должна быть \(\displaystyle 1{\small.}\)
Если единица ровно одна, то сумма все равно будет меньше произведения.
Значит, среди чисел, содержащих две \(\displaystyle 1{\small,}\) точно будет хотя бы один ответ к задаче.
3. Перебираем четные пятизначные числа, не оканчивающиеся нулем. Это уменьшает количество возможных чисел больше чем в \(\displaystyle 2\) раза.
В числе, которое ищется, порядок цифр не имеет значения (кроме последней четной).
Поэтому сначала записываем наименьшее число с единицами в начале, а потом его увеличиваем.
| Число | Сумма цифр | Произведение цифр | Итог |
| \(\displaystyle 11112\) | \(\displaystyle 1+1+1+1+2=6\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot2=2\) | \(\displaystyle 6\,\color{red}{\cancel{=}}\,2\) |
| \(\displaystyle 11114\) | \(\displaystyle 1+1+1+1+4=8\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot4=4\) | \(\displaystyle 8\,\color{red}{\cancel{=}}\,4\) |
| \(\displaystyle 11116\) | \(\displaystyle 1+1+1+1+6=10\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot6=6\) | \(\displaystyle 10\,\color{red}{\cancel{=}}\,6\) |
| \(\displaystyle 11118\) | \(\displaystyle 1+1+1+1+8=12\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot8=8\) | \(\displaystyle 12\,\color{red}{\cancel{=}}\,8\) |
| \(\displaystyle 11122\) | \(\displaystyle 1+1+1+2+2=7\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot2\cdot2=4\) | \(\displaystyle 7\,\color{red}{\cancel{=}}\,4\) |
| \(\displaystyle 11124\) | \(\displaystyle 1+1+1+2+4=9\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot2\cdot4=8\) | \(\displaystyle 9\,\color{red}{\cancel{=}}\,8\) |
| \(\displaystyle 11126\) | \(\displaystyle 1+1+1+2+6=11\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot2\cdot6=12\) | \(\displaystyle 11\,\color{red}{\cancel{=}}\,12\) |
| \(\displaystyle 11128\) | \(\displaystyle 1+1+1+2+8=13\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot2\cdot8=16\) | \(\displaystyle 13\,\color{red}{\cancel{=}}\,16\) |
| \(\displaystyle 11132\) | \(\displaystyle 1+1+1+3+2=8\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot3\cdot2=6\) | \(\displaystyle 8\,\color{red}{\cancel{=}}\,6\) |
| \(\displaystyle 11134\) | \(\displaystyle 1+1+1+3+4=10\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot3\cdot4=12\) | \(\displaystyle 10\,\color{red}{\cancel{=}}\,12\) |
| \(\displaystyle 11136\) | \(\displaystyle 1+1+1+3+6=12\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot3\cdot6=18\) | \(\displaystyle 12\,\color{red}{\cancel{=}}\,18\) |
| \(\displaystyle 11138\) | \(\displaystyle 1+1+1+3+8=14\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot3\cdot8=24\) | \(\displaystyle 14\,\color{red}{\cancel{=}}\,24\) |
| \(\displaystyle 11142\) | \(\displaystyle 1+1+1+4+2=9\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot4\cdot2=8\) | \(\displaystyle 9\,\color{red}{\cancel{=}}\,8\) |
| \(\displaystyle 11144\) | \(\displaystyle 1+1+1+4+4=11\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot4\cdot4=16\) | \(\displaystyle 11\,\color{red}{\cancel{=}}\,16\) |
| \(\displaystyle 11146\) | \(\displaystyle 1+1+1+4+6=13\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot4\cdot6=24\) | \(\displaystyle 13\,\color{red}{\cancel{=}}\,24\) |
| \(\displaystyle 11148\) | \(\displaystyle 1+1+1+4+8=15\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot4\cdot8=32\) | \(\displaystyle 15\,\color{red}{\cancel{=}}\,32\) |
| \(\displaystyle 11152\) | \(\displaystyle 1+1+1+5+2=10\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot5\cdot2=10\) | \(\displaystyle 10\color{red}{=}10\) |
Тогда число \(\displaystyle 11152\) является одним из возможных ответов к задаче.
Один из возможных ответов: \(\displaystyle 11152{\small.}\)
Помимо числа \(\displaystyle 11152\) подходят все четные числа, полученные из \(\displaystyle 11152\) перестановкой цифр.
Также подходит \(\displaystyle 11222\) и все четные числа, получающиеся из него перестановкой цифр.