Найдите трёхзначное натуральное число, кратное \(\displaystyle 4\), сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение 1.
Решим задачу перебором. Заметим, что:
Максимально возможная сумма цифр равна \(\displaystyle 27{\small .} \)
Если каждая из цифр числа \(\displaystyle \geqslant 3{\small,}\) то их произведение будет \(\displaystyle \geqslant 27{\small .} \)
Значит, хотя бы одна из цифр – это \(\displaystyle 1\) или \(\displaystyle 2{\small .}\)
3. Перебираем трехзначные числа, делящиеся на \(\displaystyle 4{\small.}\) Это еще больше сокращает количество возможных чисел.
Поэтому перебор относительно быстро приведет к результату. Получаем:
| Число | Сумма цифр | Произведение цифр | Итог |
| \(\displaystyle 112\) | \(\displaystyle 1+1+2=4\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot2=2\) | \(\displaystyle 4\,\color{red}{\cancel{=}}\,2\) |
| \(\displaystyle 116\) | \(\displaystyle 1+1+6=8\) | \(\displaystyle 1\cdot1\cdot6=6\) | \(\displaystyle 8\,\color{red}{\cancel{=}}\,6\) |
| \(\displaystyle 124\) | \(\displaystyle 1+2+4=7\) | \(\displaystyle 1\cdot2\cdot4=8\) | \(\displaystyle 7\,\color{red}{\cancel{=}}\,8\) |
| \(\displaystyle 128\) | \(\displaystyle 1+2+8=11\) | \(\displaystyle 1\cdot2\cdot8=16\) | \(\displaystyle 11\,\color{red}{\cancel{=}}\,16\) |
| \(\displaystyle 132\) | \(\displaystyle 1+3+2=6\) | \(\displaystyle 1\cdot3\cdot2=6\) | \(\displaystyle 6\color{red}{=}6\) |
Тогда число \(\displaystyle 132\) удовлетворяет всем условиям задачи.
В задаче достаточно привести один пример такого числа, значит, задача решена.
Один из возможных ответов: \(\displaystyle 132{\small.}\)
Число \(\displaystyle 132\) не является единственным ответом. Также подходит число \(\displaystyle 312{\small.}\)
Решение 2.
Решим задачу перебором. Заметим, что:
- Число делится на \(\displaystyle 4{\small,}\) то есть последние две цифры образуют число, делящееся на \(\displaystyle 4{\small.}\)
- Ни одна из цифр не должна быть равна \(\displaystyle 0{\small.}\)
- Произведение цифр числа \(\displaystyle \leqslant27{\small.}\)
Тогда будем перебирать числа следующим образом:
1. Возьмем четную цифру. (Пойдем по цифрам в порядке убывания.)
2. Допишем к ней цифру слева так, чтобы получилось число, делящееся на \(\displaystyle 4{\small.}\)
(При этом произведение этих двух цифр должно быть \(\displaystyle \leqslant27{\small.}\))
3. Допишем еще одну цифру слева так, чтобы произведение цифр было \(\displaystyle \leqslant27{\small.}\)
| Последняя цифра | Числа, делящиеся на \(\displaystyle 4\) | Дописываем первую цифру | Сумма цифр | Произведение цифр | Итог |
| \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 28\) | \(\displaystyle 128\) | \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 16\) | \(\displaystyle 11\,\color{red}{\cancel{=}}\, 16\) |
| \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 16\) | \(\displaystyle 116\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 8\,\color{red}{\cancel{=}}\, 6\) |
| \(\displaystyle 216\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 9\,\color{red}{\cancel{=}}\, 12\) | ||
| \(\displaystyle 316\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 18\) | \(\displaystyle 10\,\color{red}{\cancel{=}}\, 18\) | ||
| \(\displaystyle 416\) | \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 24\) | \(\displaystyle 11\,\color{red}{\cancel{=}}\, 24\) | ||
| \(\displaystyle 36\) | \(\displaystyle 136\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 18\) | \(\displaystyle 10\,\color{red}{\cancel{=}}\, 18\) | |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 24\) | \(\displaystyle 124\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 7\,\color{red}{\cancel{=}}\, 8\) |
| \(\displaystyle 224\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 16\) | \(\displaystyle 8\,\color{red}{\cancel{=}}\, 16\) | ||
| \(\displaystyle 324\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 24\) | \(\displaystyle 9\,\color{red}{\cancel{=}}\, 24\) | ||
| \(\displaystyle 44\) | \(\displaystyle 144\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 16\) | \(\displaystyle 9\,\color{red}{\cancel{=}}\, 16\) | |
| \(\displaystyle 64\) | \(\displaystyle 164\) | \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 24\) | \(\displaystyle 11\,\color{red}{\cancel{=}}\, 24\) | |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 112\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 4\,\cancel{=}\, 2\) |
| \(\displaystyle 212\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\,\color{red}{\cancel{=}}\, 4\) | ||
| \(\displaystyle 312\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 6\color{green}{=}6\) |
Тогда число \(\displaystyle 312\) удовлетворяет всем условиям задачи.
В задаче достаточно привести один пример такого числа, значит, задача решена.
Один из возможных ответов: \(\displaystyle 312{\small.}\)