Теория: 05 Площадь сечения

Прямая \(\displaystyle NK\) – пересечение плоскостей \(\displaystyle MNK\) и \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямая \(\displaystyle ML\) – пересечение плоскостей \(\displaystyle MNK\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1{\small.}\)

Плоскости \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1\) параллельны.

Значит, и прямые \(\displaystyle NK\) и \(\displaystyle ML\) параллельны.

Проведем высоту \(\displaystyle CH\) в треугольнике \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Треугольник \(\displaystyle ABC\) – правильный треугольник со стороной \(\displaystyle 8{\small.}\)

Тогда \(\displaystyle CH\) еще и медиана и \(\displaystyle AH=\frac{8}{2}=4{\small.}\)

Отрезок \(\displaystyle AK=AC-KC=4{\small.}\)

Заметим равенство отношений

\(\displaystyle\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{4}{2}=2=\dfrac{8}{4}=\dfrac{AC}{AK}{\small.}\)

Значит, имеем параллельные прямые

\(\displaystyle NK||CH{\small.}\)

Высота \(\displaystyle CH\) перпендикулярна стороне \(\displaystyle AB{\small.}\) Следовательно и параллельная ей прямая \(\displaystyle NK\) перпендикулярна\(\displaystyle AB{\small.}\)

Отрезки \(\displaystyle AB{\small,}\) и  \(\displaystyle A_1B_1\) параллельные ребра призмы.

Прямые \(\displaystyle NK\) и \(\displaystyle ML\) параллельны.

Значит, из перпендикулярности \(\displaystyle NK\) и \(\displaystyle AB\) следует перпендикулярность \(\displaystyle ML\) и \(\displaystyle A_1B_1{\small.}\)

В равносторонних треугольниках все углы равны \(\displaystyle 60^{\circ}{\small.}\)

То есть все углы треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1\) равны \(\displaystyle 60^{\circ}{\small.}\)

Тогда треугольники \(\displaystyle B_1ML\) и \(\displaystyle ANK\) равны.

\(\displaystyle\begin{cases}\angle MB_1L=\angle NAK=60^{\circ},\\\angle B_1ML=\angle ANK=90^{\circ} \,(NK \perp AB\,\, и\,\, ML\perp A_1B_1),\\AN=MB_1=2.\end{cases}\)

Значит, соответствующие стороны равны.

\(\displaystyle NK=ML{\small.}\)

Ребро призмы \(\displaystyle A_1A\) перпендикулярно плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Значит, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности прямой \(\displaystyle NK{\small:}\)

\(\displaystyle NK\perp A_1A{\small.}\)

Также уже доказано,что прямая \(\displaystyle NK\) перпендикулярна прямой \(\displaystyle AB{\small:}\)

\(\displaystyle NK\perp AB{\small.}\)

Тогда \(\displaystyle NK\) перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в плоскости \(\displaystyle AA_1B_1{\small.}\)

Что означает, что прямая \(\displaystyle NK\) перпендикулярна плоскости \(\displaystyle AA_1B_1{\small.}\)

Согласно определению точки \(\displaystyle L{\small,}\) она лежит в плоскости \(\displaystyle MNK{\small.}\)

Продлим отрезок \(\displaystyle ML\) до пересечения с прямой \(\displaystyle A_1C_1{\small.}\)

Назовем эту точку \(\displaystyle Q{\small.}\)

Тогда точка \(\displaystyle Q\) тоже лежит в плоскости \(\displaystyle MNK{\small.}\)

Проведем отрезок \(\displaystyle KQ{\small.}\) Его точку пересечения с отрезком \(\displaystyle CC_1\) назовем \(\displaystyle P{\small.}\)

Соединяя точки \(\displaystyle M,\,L,\,P,\,K,\,N{\small,}\) получаем сечение.

Как было доказано в первом пункте, \(\displaystyle NK\perp AB{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \angle ANK=90^{\circ}{\small.}\)

Треугольник \(\displaystyle ABC\) – правильный, значит 

\(\displaystyle \angle NAK=\angle BAC=60^{\circ}{\small.}\)

Тогда \(\displaystyle NAK\) прямоугольный треугольник и для него:

\(\displaystyle \tg(\angle NAK)=\frac{NK}{AN}{\small,}\)

\(\displaystyle \tg(60^{\circ})=\frac{NK}{2}{\small,}\)

\(\displaystyle NK=\tg(60^{\circ})\cdot2=2\sqrt{3}{\small.}\)

Проведем \(\displaystyle NH_1\) – высоту к \(\displaystyle A_1B_1{\small.}\)

Тогда \(\displaystyle NH_1\) параллельна ребру \(\displaystyle AA_1{\small.}\) А так как \(\displaystyle AN\) параллельна \(\displaystyle A_1H_1{\small,}\) то \(\displaystyle AA_1H_1N\) – параллелограмм и

\(\displaystyle A_1H_1=AN=2\) и \(\displaystyle NH_1=AA_1=3{\small.}\)

Значит, 

\(\displaystyle H_1M=A_1B_1-A_1H_1-MB_1=8-2-2=4{\small.}\)

И по теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle NH_1M{\small:}\)

\(\displaystyle NM^2=NH_1^2+H_1M^2{\small,}\)

\(\displaystyle NM^2=3^2+4^2{\small,}\)

\(\displaystyle NM=\sqrt{3^2+4^2}=5{\small.}\)

Напомним, как строилась точка \(\displaystyle P{\small.}\)

Продлевался отрезок \(\displaystyle ML\) до пересечения с \(\displaystyle A_1C_1{\small,}\) их точка пересечения – \(\displaystyle Q{\small.}\)

Тогда \(\displaystyle P\) – пересечение \(\displaystyle KQ\) с \(\displaystyle CC_1{\small.}\)

Также проведем высоту \(\displaystyle C_1H_2\) в треугольнике \(\displaystyle A_1B_1C_1{\small.}\)

Высота  \(\displaystyle C_1H_2\) является также медианой \(\displaystyle A_1B_1C_1{\small.}\)

Откуда,

\(\displaystyle A_1H_2=B_1H_2=\frac{A_1B_1}{2}=\frac{8}{2}=4{\small,}\)

\(\displaystyle H_2M=H_2B_1-MB_1=4-2=2{\small.}\)

Как уже было доказано в пункте \(\displaystyle а)\)

 \(\displaystyle ML \perp A_1B_1{\small.}\)

Тогда прямые \(\displaystyle C_1H_2\) и \(\displaystyle ML\) параллельны.

Следовательно, во-первых,

\(\displaystyle \frac{C_1L}{B_1L}=\frac{H_2M}{MB_1}=\frac{2}{2}=1{\small.}\)

Откуда,

\(\displaystyle \color{blue}{C_1L=B_1L=\frac{C_1B_1}{2}=\frac{8}{2}=4}{\small.}\)

Во-вторых, 

\(\displaystyle \frac{A_1C_1}{C_1Q}=\frac{A_1H_2}{H_2M}=\frac{4}{2}=2{\small.}\)

Откуда,

\(\displaystyle C_1Q=\frac{A_1C_1}{2}=\frac{8}{2}=4{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle C_1Q\) и \(\displaystyle KC\) параллельны. Тогда накрест лежащие углы равны:

\(\displaystyle \angle C_1QP=\angle PKC\) и \(\displaystyle \angle PC_1Q=\angle PCK{\small.}\)

Значит, треугольники \(\displaystyle CKP\) и \(\displaystyle C_1QP\) равны:

\(\displaystyle \begin{cases}\angle C_1QP=\angle PKC,\\\angle PC_1Q=\angle PCK,\\KC=QC_1=4.\end{cases}\)

Откуда, 

\(\displaystyle PC_1=PC=\frac{CC_1}{2}=1{,}5{\small.}\)

Ребро \(\displaystyle CC_1\) перпендикулярно и \(\displaystyle KC{\small,}\) и \(\displaystyle C_1L{\small.}\)

Тогда напишем теорему Пифагора для прямоугольных треугольников \(\displaystyle KCP\) и \(\displaystyle PC_1L{\small.}\)

Для \(\displaystyle KCP{\small:}\)

\(\displaystyle KP^2=KC^2+PC^2{\small,}\)

\(\displaystyle KP^2=(4)^2+(1{,}5)^2{\small,}\)

\(\displaystyle KP=\sqrt{18{,}25}=\frac{\sqrt{73}}{2}{\small.}\)

Для \(\displaystyle PC_1L{\small:}\)

\(\displaystyle PL^2=C_1L^2+PC_1^2{\small,}\)

\(\displaystyle PL^2=(4)^2+(1{,}5)^2{\small,}\)

\(\displaystyle PL=\sqrt{18{,}25}=\frac{\sqrt{73}}{2}{\small.}\)

Найдем площадь треугольника со сторонами \(\displaystyle 5{\small,}\) \(\displaystyle \frac{\sqrt{73}}{2}\) и \(\displaystyle \frac{\sqrt{73}}{2}{\small.}\)

Проведем высоту к основанию. Треугольник равнобедренный, значит, она также является медианой.

По теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle KPH_3{\small:}\)

\(\displaystyle KP^2=KH_3^2+PH_3^2{\small,}\)

\(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{73}}{2}\right)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2+PH_3^2{\small,}\)

\(\displaystyle PH_3=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{73}}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2}=2\sqrt{3}{\small.}\)

Тогда площадь треугольника \(\displaystyle KLP{\small:}\)

\(\displaystyle S_{KLP}=\frac{PH_3\cdot KL}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot5}{2}=5\sqrt{3}{\small.}\)