Теория: 05 Площадь сечения

Так как пирамида \(\displaystyle SABCD\) – правильная, то

• основание \(\displaystyle ABCD\) – квадрат,
• высота \(\displaystyle SO\) падает в точку пересечения диагоналей основания.

\(\displaystyle 1)\) Рассмотрим прямую \(\displaystyle AM{\small:}\)

• Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle M\) принадлежат \(\displaystyle \alpha{\small,}\) поэтому прямая \(\displaystyle AM\) принадлежит \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle ASC{\small:}\)

• прямая \(\displaystyle AM\) принадлежит \(\displaystyle ASC{\small,}\)
• прямая \(\displaystyle SO\) принадлежит \(\displaystyle ASC{\small,}\)
• данные прямые не параллельны.

Следовательно, прямые \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle SO\) пересекаются.

Обозначим точку их пересечения \(\displaystyle F{\small. }\) \(\displaystyle F \in \alpha{\small. }\)

\(\displaystyle 3)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle DSB{\small.}\)

Прямая \(\displaystyle DB\) лежит в плоскости \(\displaystyle DSB\) и
параллельна плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Поэтому линия пересечения плоскости \(\displaystyle \alpha\)
с плоскостью \(\displaystyle DSB\) параллельна прямой \(\displaystyle DB{\small.}\)

Построим через точку \(\displaystyle F\) прямую \(\displaystyle NP\|BD{\small,}\) \(\displaystyle N \in SD{\small,}\) \(\displaystyle P \in SB{\small.}\)

Это и есть линия пересечения плоскости \(\displaystyle \alpha\) с плоскостью \(\displaystyle DSB{\small. }\) Значит, \(\displaystyle NP \in \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 4)\) Соединим точки \(\displaystyle A{\small,}\)\(\displaystyle N{\small,}\)\(\displaystyle M\) и \(\displaystyle P\):

• точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle M\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha\)
  по условию,
• точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle P\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha\)
  по построению.

Значит, четырехугольник \(\displaystyle ANMP\) – искомое сечение.

\(\displaystyle AF\) – наклонная,

\(\displaystyle AO\) – проекция \(\displaystyle AF\) на плоскость\(\displaystyle ABC{\small,}\)

\(\displaystyle BD \in ABC\) и \(\displaystyle BD \perp AO{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle AF \perp BD\) или \(\displaystyle AM \perp BD{\small.}\)

\(\displaystyle \cos \angle C= \frac{OC}{SC}= \frac{6}{21}=\frac{2}{7}{\small.}\)

По теореме косинусов

\(\displaystyle AM^{\,2}=AC^{\,2}+AC^{\,2}-2 \cdot AC\cdot AC \cdot \cos \angle C{\small,}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} AM^{\,2}&=12^{\,2}+\left(\frac{21}{2}\right)^2-2 \cdot 12\cdot \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{7}{\small,}\\[10px] &=144+\frac{441}{4}-72=\frac{729}{4}{\small.} \end{aligned}\)

Значит,

\(\displaystyle AM=\frac{27}{2}{\small.}\)

Построим \(\displaystyle MH \|SO{\small,}\) тогда \(\displaystyle MH \perp AC{\small.}\)

\(\displaystyle AM\) – гипотенуза прямоугольного треугольника \(\displaystyle AHM{\small.}\)

По теореме Пифагора 

\(\displaystyle AM^{\,2}=AH^{\,2}+MH^{\,2}{\small.}\)

В треугольнике \(\displaystyle SOC\) \(\displaystyle MH\) – средняя линия, значит,

\(\displaystyle OH=\frac{1}{2} \cdot OC{\small,}\) \(\displaystyle MH=\frac{1}{2} \cdot SO{\small.}\)

• \(\displaystyle DB=12{\small,}\)
• \(\displaystyle SO \perp BD {\small,}\)
• \(\displaystyle NP \|DB{\small,}\)
• \(\displaystyle SF=\frac{2}{3}\cdot SO{\small.}\)

Значит, в треугольниках \(\displaystyle DSB\) и \(\displaystyle NSP{\small:}\)

• \(\displaystyle \angle SDB = \angle SNP{\small,}\)
• \(\displaystyle \angle DSB\) – общий.