Теория: 05 Площадь сечения

Чтобы построить след сечения, достаточно знать две его точки, то есть точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.

Если такой след сечения найден, то точки его пересечения с соответствующими рёбрами многогранника и будут вершинами искомого сечения.

Плоскость \(\displaystyle MNK\) обозначим буквой \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 1)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle BB_1C_1{\small:}\)

• Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) лежат на ребрах грани \(\displaystyle BB_1C_1C\), то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle NK\) лежит в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\)
• Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle NK\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle NK\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle CB\) и \(\displaystyle CC_1\) лежат в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle NK\) пересекает прямую \(\displaystyle CB\) в точке \(\displaystyle Z{\small,}\) прямую \(\displaystyle CC_1\) – в точке \(\displaystyle O{\small.}\)

Точки \(\displaystyle Z\) и \(\displaystyle O\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle ABC{\small:}\)

• Точкa \(\displaystyle Z\) лежит на прямой \(\displaystyle CB{\small,}\) значит, принадлежит плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Точка \(\displaystyle M\) лежит на ребрe \(\displaystyle AB\) грани \(\displaystyle ABCD\), то есть принадлежит плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle ZM\) лежит в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)
• Точки \(\displaystyle Z\) и \(\displaystyle M\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle ZM\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle ZM\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD\) лежат в плоскости \(\displaystyle ABC\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle ZM\) пересекает прямую \(\displaystyle AD\) в точке \(\displaystyle F{\small,}\) прямую \(\displaystyle CD\) – в точке \(\displaystyle V{\small.}\)

Точки \(\displaystyle F\) и \(\displaystyle V\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 3)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle DCC_1{\small:}\)

• Точки \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle O\) лежат на прямых \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle CC_1\) соответственно, то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle DCC_1{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle VO\) лежит в плоскости \(\displaystyle DCC_1{\small.}\)
• Точки \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle O\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle VO\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle VO\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle DD_1\) и \(\displaystyle C_1D_1 \) лежат в плоскости \(\displaystyle DCC_1\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle VO\) пересекает прямую \(\displaystyle DD_1\) в точке \(\displaystyle P{\small,}\) прямую \(\displaystyle C_1D_1\) – в точке \(\displaystyle L{\small.}\)

Точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle L\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 4)\) Соединим отрезками точки пересечения ребер куба и плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle MNKLPF\) - сечение куба плоскостью \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Правильный шестиугольник можно разделить на шесть правильных треугольников. Значит, площадь правильного шестиугольника со стороной \(\displaystyle a\) равна сумме площадей шести правильных треугольников со стороной \(\displaystyle a{\small.}\)

Правило

Площадь равностороннего треугольника

Площадь \(\displaystyle S\) равностороннего треугольника равна \(\displaystyle S_{\triangle}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}{ \small ,} \) где \(\displaystyle a \) – сторона треугольника.

Тогда площадь правильного шестиугольника равна \(\displaystyle S=6\cdot S_{\triangle}=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2{\small,}\) где \(\displaystyle a \) – сторона правильного шестиугольника.