Skip to main content

Теория: Расстояния

Задание

В правильной шестиугольной призме \(\displaystyle ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) длины всех рёбер равны \(\displaystyle 2{\small.}\)

\(\displaystyle а)\) Докажите, что прямые \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle F_1D\) перпендикулярны.

\(\displaystyle б)\) Найдите расстояние от точки \(\displaystyle A\) до плоскости \(\displaystyle CDF_1{\small.}\)

\sqrt{3}
Решение

\(\displaystyle ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) – правильная шестиугольная призма,

\(\displaystyle BC=2{\small,}\)

\(\displaystyle CC_1=2{\small.}\)

 

\(\displaystyle а)\) Требуется доказать,  что прямые \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle F_1D\) перпендикулярны.

В правильной призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям, то есть \(\displaystyle FF_1\perp ABCDEF{\small.}\)

Поэтому \(\displaystyle FD\) является проекцией прямой \(\displaystyle F_1D\) на плоскость \(\displaystyle ABC{\small.}\)

 

В правильном шестиугольнике \(\displaystyle ABCDEF{\small:}\)  \(\displaystyle FD \perp CD{\small.}\)

По теореме о трёх перпендикулярах  \(\displaystyle F_1D \perp CD{\small.}\)

Что и требовалось доказать.

 

\(\displaystyle б)\) Требуется найти расстояние от точки \(\displaystyle A\) до плоскости \(\displaystyle CDF_1{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle \color{red} d\) – искомое расстояние от точки \(\displaystyle A\) до плоскости \(\displaystyle CDF_1{\small.}\)

Соединим попарно точки \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle C{\small,}\) \(\displaystyle D{\small,}\) \(\displaystyle F_1\) отрезками и рассмотрим пирамиду \(\displaystyle ACDF_1{\small.}\)

Задачу будем решать методом "вспомогательного объёма".

Выразим объём пирамиды \(\displaystyle ACDF_1\) двумя способами:

\(\displaystyle 1\) способ

Пусть \(\displaystyle \triangle CDF_1\) – основание пирамиды \(\displaystyle ACDF_1{\small,}\) точка \(\displaystyle A\) – вершина.

Тогда \(\displaystyle \color{red}d\) – длина высоты пирамиды, опущенной из точки \(\displaystyle A\) на основание \(\displaystyle CDF_1{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle V=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle CDF_1} \cdot \color{red}d { \small .} \)

 

\(\displaystyle 2\) способ

Пусть \(\displaystyle \triangle ACD\) – основание пирамиды \(\displaystyle ACDF_1{\small,}\) точка \(\displaystyle F_1\) – вершина.

Так как в правильной призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям, то \(\displaystyle F_1F \perp ACD{\small.}\) Тогда \(\displaystyle F_1F\) – высота пирамиды \(\displaystyle ACDF_1{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle V=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ACD} \cdot F_1F { \small .} \)

Так как объём не зависит от способа вычисления, то

\(\displaystyle \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle CDF_1} \cdot \color{red}d= \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ACD} \cdot F_1F { \small .} \)

Выразим из полученного равенства \(\displaystyle \color{red} d {\small:}\)

\(\displaystyle S_{\triangle CDF_1} \cdot \color{red}d= S_{\triangle ACD} \cdot F_1F { \small ,} \\ \)

\(\displaystyle \color{red}d= \frac{ S_{\triangle ACD} }{ S_{\triangle CDF_1} }\cdot F_1F { \small .} \)

 

Найдём площади треугольников \(\displaystyle ACD\) и \(\displaystyle CDF_1{\small.}\)

\(\displaystyle S_{\triangle ACD}=2\sqrt{3}{\small.}\)

\(\displaystyle S_{\triangle CDF_1}=4{\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle \color{red}d= \frac{ S_{\triangle ACD} }{ S_{\triangle CDF_1} }\cdot F_1F = \frac{2\sqrt{3}}{4} \cdot 2=\sqrt{3}{ \small .} \)

 

Ответ: \(\displaystyle б)\) \(\displaystyle \sqrt{3} {\small.}\)