Теория: Расстояния

Чтобы построить след сечения, достаточно знать две его точки, то есть точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.

Если такой след сечения найден, то точки его пересечения с соответствующими рёбрами многогранника и будут вершинами искомого сечения.

Плоскость \(\displaystyle MNK\) обозначим буквой \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 1)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle BB_1C_1{\small:}\)

• Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) лежат на ребрах грани \(\displaystyle BB_1C_1C\), то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle NK\) лежит в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\)
• Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle NK\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle NK\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle CB\) и \(\displaystyle CC_1\) лежат в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle NK\) пересекает прямую \(\displaystyle CB\) в точке \(\displaystyle Z{\small,}\) прямую \(\displaystyle CC_1\) – в точке \(\displaystyle O{\small.}\)

Точки \(\displaystyle Z\) и \(\displaystyle O\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle ABC{\small:}\)

• Точкa \(\displaystyle Z\) лежит на прямой \(\displaystyle CB{\small,}\) значит, принадлежит плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Точка \(\displaystyle M\) лежит на ребрe \(\displaystyle AB\) грани \(\displaystyle ABCD\), то есть принадлежит плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle ZM\) лежит в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)
• Точки \(\displaystyle Z\) и \(\displaystyle M\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle ZM\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle ZM\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD\) лежат в плоскости \(\displaystyle ABC\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle ZM\) пересекает прямую \(\displaystyle AD\) в точке \(\displaystyle F{\small,}\) прямую \(\displaystyle CD\) – в точке \(\displaystyle V{\small.}\)

Точки \(\displaystyle F\) и \(\displaystyle V\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 3)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle DCC_1{\small:}\)

• Точки \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle O\) лежат на прямых \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle CC_1\) соответственно, то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle DCC_1{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle VO\) лежит в плоскости \(\displaystyle DCC_1{\small.}\)
• Точки \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle O\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle VO\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle VO\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle DD_1\) и \(\displaystyle C_1D_1 \) лежат в плоскости \(\displaystyle DCC_1\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle VO\) пересекает прямую \(\displaystyle DD_1\) в точке \(\displaystyle P{\small,}\) прямую \(\displaystyle C_1D_1\) – в точке \(\displaystyle L{\small.}\)

Точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle L\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 4)\) Соединим отрезками точки пересечения ребер куба и плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle MNKLPF\) - сечение куба плоскостью \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Пусть

• \(\displaystyle ax+by+cz+d=0\) – уравнение плоскости \(\displaystyle MNK{\small,}\)
• \(\displaystyle (x_0{\small;}\ y_0{\small;} \ z_0) \) – координаты точки \(\displaystyle C{\small.}\)

Тогда расстояние \(\displaystyle \rho\) от точки \(\displaystyle C(x_0{\small;}\ y_0{\small;} \ z_0) \) до плоскости \(\displaystyle MNK\) можно найти из формулы:

\(\displaystyle \rho = \frac{\big| ax_0+by_0+cz_0+d \big|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{\small.}\)

Точки \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) имеют координаты:

\(\displaystyle M\big(1{\small;}\ 0{\small;}\ 0\big){\small,}\) \(\displaystyle N\big(0{\small;}\ 0{\small;}\ 1\big){\small,}\) \(\displaystyle K\big(0{\small;}\ 1{\small;}\ 2\big){\small.}\)

Подставляя в общий вид уравнения плоскости \(\displaystyle ax+by+cz+d=0\) поочерёдно координаты точек \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K{\small,}\) получим систему уравнений для определения коэффициентов \(\displaystyle a{\small,}\) \(\displaystyle b{\small,}\) \(\displaystyle c \) и \(\displaystyle d \) уравнения плоскости \(\displaystyle MNK{\small:}\)

Выразим коэффициенты \(\displaystyle a{\small,}\) \(\displaystyle b \) и \(\displaystyle c \) через коэффициент \(\displaystyle d {\small:}\)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&a=-d{\small,} \\&c=-d{\small,}\\&b=d{\small.}\end{aligned}\right.\)

Так как \(\displaystyle d \ \cancel{=}\ 0{\small,}\) то \(\displaystyle d\) можно взять произвольной константой.

Пусть \(\displaystyle d=1{\small,}\) тогда

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&a=-1{\small,} \\&c=-1{\small,}\\&b=1{\small.}\end{aligned}\right.\)

В определённой нами системе координат уравнение плоскости \(\displaystyle MNK\) имеет вид:

\(\displaystyle -x+y-z+1=0 {\small.}\)

Точка \(\displaystyle C\) лежит на оси \(\displaystyle By{\small,}\) ребро куба \(\displaystyle BC=2{\small,}\) тогда координаты точки \(\displaystyle C\) определяются так:

\(\displaystyle x_0=0{\small,}\) \(\displaystyle y_0=2{\small,}\) \(\displaystyle z_0=0{\small.}\)