Большая боковая сторона прямоугольной трапеции, описанной около окружности радиуса \(\displaystyle 2 \small,\) равна \(\displaystyle 7 \small.\) Найдите периметр трапеции.
Пусть \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольная трапеция с боковыми сторонами \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD=7 \small,\) \(\displaystyle CD>AB \small,\) описанная около окружности радиуса \(\displaystyle 2 \small.\)
Поскольку перпендикуляр меньше наклонной, то \(\displaystyle AB\) перпендикулярна основаниям.
Пусть окружность касается оснований \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) в точках \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle L\) соответственно.
Тогда радиус \(\displaystyle OK \small,\) проведенный в точку касания, перпендикулярен прямой \(\displaystyle AD \small.\)
Так как основания трапеции параллельны, то \(\displaystyle OK\) перпендикулярен и прямой \(\displaystyle BC \small.\)
Но радиус \(\displaystyle OL\) так же перпендикулярен прямой \(\displaystyle BC \small.\) Поскольку через точку \(\displaystyle O\) можно провести только один перпендикуляр к прямой \(\displaystyle BC \small,\) то прямые \(\displaystyle OK\) и \(\displaystyle OL\) совпадают.
Прямая \(\displaystyle KL\) параллельна прямой \(\displaystyle AB \small,\) поскольку они обе перпендикулярны основаниям трапеции. Отрезок \(\displaystyle KL\) является диаметром окружности, значит \(\displaystyle KL=4 \small.\)
Тогда \(\displaystyle ABLK\) – параллелограмм,
\(\displaystyle AB=KL=4 \small.\)
По свойству описанного четырехугольника суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны,
\(\displaystyle AB+CD=AD+BC \small.\)
Значит,
\(\displaystyle AD+BC=AB+CD=4+7=11 \small.\)
Тогда получаем:
\(\displaystyle P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=(AB+CD)+(BC+AD)=11+11=22 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 22 {\small .}\)