Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{125^{n+1}}{5^{n-1}}:25^{n}=\)
Представим выражение в виде дроби:
\(\displaystyle \frac{125^{n+1}}{5^{n-1}}:25^{n}=\frac{125^{n+1}}{5^{n-1}\cdot25^n}{\small.}\)
Приведем степени к одинаковым основаниям.
Для этого представим \(\displaystyle 125\) как \(\displaystyle 5^3\) и \(\displaystyle 25\) как \(\displaystyle 5^2{\small:}\)
\(\displaystyle\frac{\color{green}{125}^{n+1}}{5^{n-1}\cdot\color{blue}{25}^n}=\frac{\left(\color{green}{5^3}\right)^{n+1}}{5^{n-1}\cdot\left(\color{blue}{5^2}\right)^{n}}{\small.}\)
Раскроем скобки. При возведении степени в степень показатели этих степеней перемножаются.
То есть
\(\displaystyle\frac{\left({5^3}\right)^{n+1}}{5^{n-1}\cdot\left({5^2}\right)^n}=\frac{5^{3\cdot(n+1)}}{5^{n-1}\cdot5^{2\cdot n}}{\small.}\)
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются. А при делении вычитаются.
Значит,
\(\displaystyle \frac{5^{3\cdot(n+1)}}{5^{n-1}\cdot5^{2\cdot n}}=\frac{5^{3(n+1)}}{5^{(n-1)+2n}}={5^{3(n+1)-(n-1+2n)}}=5^{\cancel{3n}+3-\cancel{n}+1-\cancel{2n}}=5^4=625{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle\frac{125^{n+1}}{5^{n-1}}:25^{n}=\frac{125^{n+1}}{5^{n-1}\cdot25^n}=\frac{\left({5^3}\right)^{n+1}}{5^{n-1}\cdot\left({5^2}\right)^{n}}=\frac{5^{3\cdot(n+1)}}{5^{n-1}\cdot5^{2\cdot n}}=5^{3(n+1)-(n-1+2n)}=5^{4}=625{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 625{\small.}\)