Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{27^{n+1}}{3^{n-1}}:9^{n}=\)
Представим выражение в виде дроби:
\(\displaystyle \frac{27^{n+1}}{3^{n-1}}:9^{n}=\frac{27^{n+1}}{3^{n-1}\cdot9^n}{\small.}\)
Приведем степени к одинаковым основаниям.
Для этого представим \(\displaystyle 27\) как \(\displaystyle 3^3\) и \(\displaystyle 9\) как \(\displaystyle 3^2{\small:}\)
\(\displaystyle\frac{\color{green}{27}^{n+1}}{3^{n-1}\cdot\color{blue}{9}^n}=\frac{\left(\color{green}{3^3}\right)^{n+1}}{3^{n-1}\cdot\left(\color{blue}{3^2}\right)^{n}}{\small.}\)
Раскроем скобки. При возведении степени в степень показатели этих степеней перемножаются.
То есть
\(\displaystyle\frac{\left({3^3}\right)^{n+1}}{3^{n-1}\cdot\left({3^2}\right)^n}=\frac{3^{3\cdot(n+1)}}{3^{n-1}\cdot3^{2\cdot n}}{\small.}\)
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются. А при делении вычитаются.
Значит,
\(\displaystyle \frac{3^{3\cdot(n+1)}}{3^{n-1}\cdot3^{2\cdot n}}=\frac{3^{3(n+1)}}{3^{(n-1)+2n}}={3^{3(n+1)-(n-1+2n)}}=3^{\cancel{3n}+3-\cancel{n}+1-\cancel{2n}}=3^4=81{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle\frac{27^{n+1}}{3^{n-1}}:9^{n}=\frac{27^{n+1}}{3^{n-1}\cdot9^n}=\frac{\left({3^3}\right)^{n+1}}{3^{n-1}\cdot\left({3^2}\right)^{n}}=\frac{3^{3\cdot(n+1)}}{3^{n-1}\cdot3^{2\cdot n}}=3^{3(n+1)-(n-1+2n)}=3^{4}=81{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 81{\small.}\)