В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые \(\displaystyle 7\) минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла \(\displaystyle 640\) мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через \(\displaystyle 42\) минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Первый способ
Сначала найдем массу изотопа А через \(\displaystyle 42\) минуты.
Пусть \(\displaystyle b_1\) – масса изотопа А в начальный момент времени,
\(\displaystyle b_2\) – масса изотопа А через \(\displaystyle 7\) минут,
\(\displaystyle b_3\) – масса изотопа А через \(\displaystyle 14\) минут,
\(\displaystyle b_4\) – масса изотопа А через \(\displaystyle 21\) минуту,
\(\displaystyle b_5\) – масса изотопа А через \(\displaystyle 28\) минут,
\(\displaystyle b_6\) – масса изотопа А через \(\displaystyle 35\) минут,
\(\displaystyle b_7\) – масса изотопа А через \(\displaystyle 42\) минуты.
По условию, масса изотопа А уменьшается вдвое каждые \(\displaystyle 7\) минут.
Следовательно, \(\displaystyle b_{n+1}=b_n \cdot \frac{1}{2}\) для всех \(\displaystyle n\) от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 6{\small .}\)
Значит, последовательность чисел
\(\displaystyle b_1,\, b_2,\ldots,\, b_{7} \)
– геометрическая прогрессия со знаменателем \(\displaystyle q=\frac{1}{2}{\small .}\)
Найдем \(\displaystyle b_7{\small .}\)
По условию, \(\displaystyle b_{1}=640{\small .}\)
По формуле \(\displaystyle n\)-го члена геометрической прогрессии,
\(\displaystyle b_7=b_1\cdot q^6{\small .} \)
Получаем:
\(\displaystyle b_7=640\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6{\small ,} \)
\(\displaystyle b_7=640\cdot \frac{1}{64}{\small ,} \)
\(\displaystyle b_7=10{\small .} \)
По условию, атомы изотопа А без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
Следовательно, масса \(\displaystyle m\) образовавшегося изотопа Б равна разности массы исходного вещества и массы оставшегося изотопа А.
Получаем:
\(\displaystyle m=640-10=630 \) мг.
Ответ: \(\displaystyle 630{\small .}\)
Второй способ
В начальный момент масса изотопа А составляла \(\displaystyle 640\) мг, изотопа Б не было
через \(\displaystyle 7\) минут масса изотопа А составит \(\displaystyle 640:2=320\) мг, а масса изотопа Б составит \(\displaystyle 0+320=320\) мг;
через \(\displaystyle 14\) минут масса изотопа А составит \(\displaystyle 320:2=160\) мг, а масса изотопа Б составит \(\displaystyle 320+160=480\) мг;
через \(\displaystyle 21\) минуту масса изотопа А составит \(\displaystyle 160:2=80\) мг, а масса изотопа Б составит \(\displaystyle 480+80=560\) мг;
через \(\displaystyle 28\) минут масса изотопа А составит \(\displaystyle 80:2=40\) мг, а масса изотопа Б составит \(\displaystyle 560+40=600\) мг;
через \(\displaystyle 35\) минут масса изотопа А составит \(\displaystyle 40:2=20\) мг, а масса изотопа Б составит \(\displaystyle 600+20=620\) мг;
через \(\displaystyle 42\) минуты масса изотопа А составит \(\displaystyle 20:2=10\) мг, а масса изотопа Б составит \(\displaystyle 620+10=630\) мг.
Ответ: \(\displaystyle 630{\small .}\)