Известно, что в геометрической прогрессии \(\displaystyle b_{5} = 1{ \small ,}\) \(\displaystyle b_{8} = \frac{1}{125}{\small .}\) Найдите третий член данной прогрессии \(\displaystyle b_3{\small .}\)
Воспользуемся формулой для n-го члена геометрической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
и запишем \(\displaystyle b_{5} \) и \(\displaystyle b_{8}{\small : } \)
\(\displaystyle b_{5} = b_1 \cdot q^{4}\) и \(\displaystyle b_{8} = b_1 \cdot q^{7}{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_{5}=1\) и \(\displaystyle b_{8}= \frac{1}{125}{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} b_1 \cdot q^{4}&=1{ \small ,}\\b_1 \cdot q^{7}&= \frac{1}{125}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим ее методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle b_1{\small : } \)
\(\displaystyle b_1=\frac{ 1}{ q^{4} }{\small .} \)
Подставляя во второе уравнение, получаем:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ q^{4} } \cdot q^{7}= \frac{1}{125}{ \small ,}\)
\(\displaystyle q^{3}= \frac{1}{125}{ \small ,}\)
\(\displaystyle q^3= \frac{ 1}{ 5^3}{ \small ,}\)
\(\displaystyle q^3= \left(\frac{1}{ 5 }\right)^3{ \small ,}\)
\(\displaystyle q= \frac{1}{5 }{\small .}\)
Так как \(\displaystyle b_1=\frac{ 1}{ q^{4} }{ \small ,}\) то
\(\displaystyle b_1=\frac{ \phantom{11}1\phantom{11}}{ \left( \frac{ 1}{ 5}\right)^{4} }{\small ,} \)
\(\displaystyle b_1=625{\small .} \)
Теперь, зная \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle b_3{\small : } \)
\(\displaystyle b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,} \)
\(\displaystyle b_3=625\cdot \left(\frac{ 1}{ 5 }\right) ^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_3=625\cdot \frac{ 1}{ 25 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_3=25{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 25{\small .}\)