Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии \(\displaystyle S_6{ \small ,}\) если \(\displaystyle b_2 = 16{ \small ,}\) \(\displaystyle q = 0{,}5{\small .}\)
Сначала найдем первый член прогрессии \(\displaystyle b_1{ \small .}\)
Так как
\(\displaystyle b_2 = b_1 \cdot q{ \small ,}\)
то
\(\displaystyle b_1 = \frac{b_2}{q}{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_1 = \frac{16}{0{,}5}=32{ \small .}\)
Теперь найдем \(\displaystyle S_6{ \small ,} \) воспользовавшись формулой для суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии через \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{ \small .} \)
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_n=b_1+b_2+\ldots+b_n \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_n= \frac{ b_1 - b_{n+1}}{ 1-q } { \small .}\)
Или, записывая через \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_n= \frac{ b_1 (1-q^n)}{ 1-q } { \small .}\)
Тогда
\(\displaystyle S_6= \frac{ b_1 (1-q^6)}{ 1-q } { \small .}\)
Так как \(\displaystyle b_1=32 \) и \(\displaystyle q=0{,}5{ \small ,} \) то получаем:
\(\displaystyle S_6= \frac{32\cdot (1-(0{,}5)^6)}{ 1-0{,}5 } { \small ,}\)
\(\displaystyle S_6= \frac{32\cdot (1-\frac{1}{64}}{ 0{,}5 } { \small ,}\)
\(\displaystyle S_6= \frac{32-0{,}5}{ 0{,}5 } { \small ,}\)
\(\displaystyle S_6= \frac{31{,}5}{ 0{,}5 } { \small ,}\)
\(\displaystyle S_6=63{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 63{\small .} \)