Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Трапеция

Задание

Основания равнобедренной трапеции равны \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 13 \small,\) а её площадь равна \(\displaystyle 40 \small.\) Найдите периметр трапеции.

Решение

Пусть \(\displaystyle AD=13\) и \(\displaystyle BC=7\) – основания, \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны,
\(\displaystyle BH \) и \(\displaystyle CK \) – высоты трапеции \(\displaystyle ABCD \small.\) 

Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты  трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH K C \) – прямоугольник. 

Тогда \(\displaystyle H K =BC=7 \small.\)

 

Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\)
и катету \(\displaystyle BH=CK \small.\)

Значит, \(\displaystyle AH=DK\) и 

\(\displaystyle AH=DK=\frac{AD-BC}{2}=\)

\(\displaystyle =\frac{13-7}{2}=\frac{6}{2}=3 \small.\)


Найдем высоту \(\displaystyle BH\) трапеции через площадь. Поскольку площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту,

\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH \small,\)

то

\(\displaystyle 40=\frac{13+7}{2}\cdot BH \small,\)

\(\displaystyle 40=10\cdot BH \small,\)

\(\displaystyle BH=\frac{40}{10}=4 \small.\)

Боковую сторону \(\displaystyle AB\) трапеции найдем из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABH \small.\) 

По теореме Пифагора

\(\displaystyle AB^2=BH^2+AH^2 \small.\)

Значит, 

\(\displaystyle AB^2=4^2+3^2=16+9=25=5^2 \small.\)

Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AB=5 \small.\)


Периметр трапеции равен сумме всех ее сторон:

\(\displaystyle P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=5+7+5+13=30 \small.\)

Ответ: \(\displaystyle 30 {\small .}\)