Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Трапеция

Задание

Основания прямоугольной трапеции равны \(\displaystyle 10\) и \(\displaystyle 4\small.\) Её площадь равна \(\displaystyle 14\sqrt{3}\small.\) Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольная трапеция \(\displaystyle \\ \)с прямыми углами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) и тупым углом \(\displaystyle C\small.\) \(\displaystyle \\ \)Тогда ее основания \(\displaystyle BC=4\) и \(\displaystyle AD=10\small,\) \(\displaystyle \\ \)большая боковая сторона \(\displaystyle CD\small.\)

Опустим высоту \(\displaystyle CH\small.\) 

В четырехугольнике \(\displaystyle ABCH\) все углы прямые, \(\displaystyle \\ \)поэтому он является прямоугольником. Значит, \(\displaystyle AH=BC=4\small.\)

Тогда 

\(\displaystyle HD=AD-AH=10-4=6\small.\)


Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту,  

\(\displaystyle {S_{трап}} = \frac{{AD}+{BC}}{2}\cdot {CH} {\small ,}\)

то 

\(\displaystyle 14\sqrt{3} = \frac{{10}+{4}}{2}\cdot {CH} {\small ,}\\ \)

\(\displaystyle 14\sqrt{3} = 7 \cdot {CH} {\small ,}\)

откуда

\(\displaystyle {CH}=\frac{14\sqrt{3}}{7}=2\sqrt{3} {\small .}\)


Найдем острый угол \(\displaystyle CDH\) трапеции из прямоугольного треугольника \(\displaystyle CHD\small.\) 

Нам известны катеты \(\displaystyle CH=2\sqrt{3}\) и \(\displaystyle HD=6\small.\) 

По теореме Пифагора

\(\displaystyle \begin{aligned} CD^2&=CH^2+DH^2=\\&=(2\sqrt{3})^2+6^2=12+36=48\small.\end{aligned}\)

Поскольку длина отрезка положительна, то

\(\displaystyle CD=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\small.\)

Так как гипотенуза \(\displaystyle CD\) в два раза больше катета \(\displaystyle CH\small,\) то против катета \(\displaystyle CH\) лежит угол \(\displaystyle 30^{\circ}\small.\) Значит,

\(\displaystyle \angle CDH=30^{\circ}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 30^{\circ}\small.\)