На сторонах \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) отмечены точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) соответственно. Известно, что \(\displaystyle AM:MB=2:5\) и \(\displaystyle AN:NC=2:1 {\small.}\) Найдите площадь треугольника \(\displaystyle ABC{\small,}\) если площадь треугольника \(\displaystyle AMN\) равна \(\displaystyle 8 {\small.}\)
Теорема о площадях треугольников с равными углами
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы: \(\displaystyle \frac{\color{blue}{S_{\triangle ABC}}}{\color{green}{S_{\triangle MNK}}}=\frac{\color{blue}{AB} \cdot \color{blue}{AC}}{\color{green}{MN} \cdot \color{green}{MK}} \) |  |
 | В треугольниках \(\displaystyle AMN\) и \(\displaystyle ABC\) \(\displaystyle \angle MAN= \angle BAC {\small.}\) По теореме о площадях треугольников с равными углами получаем: \(\displaystyle \frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC} \ {\small.}\) |
По условию \(\displaystyle \frac{AM}{MB}=\frac{2}{5} {\small.}\) Следовательно, \(\displaystyle \frac{AM}{AB}= \frac{AM}{AM+MB}=\frac{2}{2+5}=\frac{2}{7} {\small.} \\ \)
Так как \(\displaystyle \frac{AN}{NC}=\frac{2}{1} {\small,}\) то \(\displaystyle \frac{AN}{AC}= \frac{AN}{AN+NC}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3} {\small.} \\ \)
Подставим полученные дроби в формулу отношения площадей треугольников:
\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{2}{7} \cdot \frac{2}{3} \ {\small,} \\ \)
\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{4}{21} \ {\small.}\)
Из последнего равенства по пропорции получаем
\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{21 \cdot S_{\triangle AMN}}{4} \ {\small,}\)
\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{21 \cdot 8}{4}=21 \cdot 2=42 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 42 {\small.}\)