Skip to main content

Теория: 13 Трапеция (Средняя линия)

Задание

В трапеции \(\displaystyle ABCD\) с основаниями \(\displaystyle AD=16\) и \(\displaystyle BC=12\) и высотой \(\displaystyle BH=10\) провели среднюю линию \(\displaystyle MN\small.\) Найдите площадь четырехугольника \(\displaystyle AMND\small.\) 

Решение

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то

\(\displaystyle MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{16+12}{2}=\frac{28}{2}=14\small.\)

Рассмотрим четырехугольник \(\displaystyle AMND\small.\)

В нем стороны \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle AD\) параллельны по свойству средней линии трапеции.\(\displaystyle \\ \)Прямые \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle DN\) не параллельны, так как содержат боковые стороны исходной трапеции.

Значит, четырехугольник \(\displaystyle AMND\) является трапецией. 

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABH\small.\)

Обозначим через \(\displaystyle K\) середину отрезка \(\displaystyle AH\small.\)

Тогда \(\displaystyle MK\) является средней линией \(\displaystyle \triangle ABH\small.\)

По свойству средней линии треугольника:

  • \(\displaystyle MK=\frac{BH}{2}=\frac{10}{2}=5\small,\) 
  •  \(\displaystyle MK\parallel BH\small,\)  поэтому \(\displaystyle MK\perp AD\small.\)

Следовательно, \(\displaystyle MK\) является высотой трапеции \(\displaystyle AMND\small.\) 

Тогда 

\(\displaystyle S_{AMND}=\frac{AD+MN}{2}\cdot MK=\frac{16+14}{2}\cdot 5=\frac{30}{2}\cdot 5=15\cdot 5=75\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 75{\small .}\)

Другое решение.