Диагональ \(\displaystyle AC\) трапеции \(\displaystyle ABCD\) пересекает среднюю линию в точке \(\displaystyle T\small.\) Найдите отрезок \(\displaystyle AT\small,\) если \(\displaystyle AC=10\small.\)
Пусть \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) основания, \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) середины боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) трапеции.
Тогда \(\displaystyle MN\) средняя линия трапеции, \(\displaystyle T\) точка ее пересечения с диагональю \(\displaystyle AC\small.\)
По свойству средней линии трапеции прямая \(\displaystyle MN\) параллельна прямым \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\small.\)
В треугольнике \(\displaystyle ACD\) отрезок \(\displaystyle TN\) параллелен стороне \(\displaystyle AD\) и проходит через середину стороны \(\displaystyle CD\small.\)
Воспользуемся следствием теоремы Фалеса.
Следствие теоремы Фалеса
Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону треугольника пополам.
Если \(\displaystyle CN=ND\) и \(\displaystyle TN\parallel AD\small,\) то \(\displaystyle AT=TC\small.\)
По следствию теоремы Фалеса \(\displaystyle AT=TC\small,\) откуда \(\displaystyle AT=\frac{1}{2}\cdot AC=\frac{1}{2} \cdot 10 = 5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 5{\small .}\)
В ходе решения задачи мы получили следующее свойство средней линии трапеции:
Свойство средней линии трапеции
Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции:
точки \(\displaystyle T\) и \(\displaystyle W\) – середины диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\small.\)