Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Логарифмические уравнения

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_5{4}=2{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
110
Решение

Сначала решим уравнение \(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_{5}4=2{\small ,}\) а затем сделаем проверку. 

Представим обе части уравнения в виде логарифмов по одинаковому основанию.

Перепишем правую часть как логарифм по основанию \(\displaystyle 5{\small .}\)

По определению логарифма

\(\displaystyle 2=\log_5 5^2=\log_5 25{\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_5 4=\log_{5}25{\small .}\)


По свойствам логарифма

\(\displaystyle \log _{5}(x-10)-\log _{5} 4=\log_5 \frac{x-10}{4}{\small .}\)

Тогда уравнение \(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_5 4=\log_{5}25\) можно переписать как 

 \(\displaystyle \log _{5}\frac{x-10}{4}=\log_5 25{\small .}\)


В обеих частях стоят логарифмы по одинаковому основанию. Такие логарифмы равны, если равны их аргументы:

\(\displaystyle \frac{x-10}{4}=25 {\small .}\)

Умножим обе части на \(\displaystyle 4\) и решим полученное линейное уравнение:

\(\displaystyle x-10=100{\small ,}\)

\(\displaystyle x=110{\small .}\)


Проверка: подставим \(\displaystyle x=110\) в исходное уравнение. Получаем:

\(\displaystyle \log_{5}(110-10)-\log_{5}4=2{\small ,}\)

\(\displaystyle \log_5 100-\log_5 4=2{\small ,}\)

\(\displaystyle \log_5 \frac{100}{4}=\log_5 25\) – верно.

Ответ: \(\displaystyle 110{\small .} \)