Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Логарифмические уравнения

Задание

Решите уравнение (если корней два или более, то в ответ запишите наименьший из них):

\(\displaystyle \log_2(8+4x)=\log_2(30+2x)-\log_2 3{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)

Решение

Сначала решим уравнение \(\displaystyle \log_2(8+4x)=\log_2(30+2x)-\log_2 3{\small ,}\) а затем сделаем проверку. 

Представим обе части уравнения в виде логарифмов по одинаковому основанию.

По свойствам логарифма

\(\displaystyle \log _{2}(30+2x)-\log _{2} 3=\log_2 \frac{30+2x}{3}{\small .}\)

Тогда уравнение \(\displaystyle \log_{2}(8+4x)=\log_2 (30+2x)-\log_{2}3\) можно переписать как 

 \(\displaystyle \log _{2}(8+4x)=\log_2 \frac{30+2x}{3}{\small .}\)


В обеих частях стоят логарифмы по одинаковому основанию. Такие логарифмы равны, если равны их аргументы:

\(\displaystyle 8+4x=\frac{30+2x}{3} {\small .}\)


Умножим обе части на \(\displaystyle 3\) и решим полученное линейное уравнение:

\(\displaystyle 3(8+4x)=30+2x{\small ,}\)

\(\displaystyle 24+12x=30+2x{\small ,}\)

\(\displaystyle 10x=6{\small ,}\)

\(\displaystyle x=0{,}6{\small .}\)


Проверка: подставим \(\displaystyle x=0{,}6\) в исходное уравнение. Получаем:

\(\displaystyle \log_{2}(8+4\cdot 0{,}6)=\log_{2}(30+2\cdot{0{,}6})-\log_2 3{\small ,}\)

\(\displaystyle \log_2 10{,}4=\log_2 31{,}2-\log_2 3{\small ,}\)

\(\displaystyle \log_2 10{,}4=\log_2 \frac{31{,}2}{3}\) – верно.

Ответ: \(\displaystyle 0{,}6{\small .} \)