Найдите корень уравнения
\(\displaystyle \log _{3}(2x+4)+\log _{3} 2=2{\small .}\)
Сначала решим уравнение \(\displaystyle \log _{3}(2x+4)+\log _{3} 2=2{\small ,}\) а затем сделаем проверку.
Представим обе части уравнения в виде логарифмов по одинаковому основанию.
По свойствам логарифма
\(\displaystyle \log _{3}(2x+4)+\log _{3} 2=\log_3 (2(2x+4)){\small .}\)
Тогда исходное уравнение \(\displaystyle \log _{3}(2x+4)+\log _{3} 2=2\) можно переписать как
\(\displaystyle \log _{3}(2(2x+4))=2{\small .}\)
Перепишем правую часть как логарифм по основанию \(\displaystyle 3{\small .}\) По определению логарифма
\(\displaystyle 2=\log_3 3^2=\log_3 9{\small .}\)
Получаем уравнение:
\(\displaystyle \log _{3}(2(2x+4))=\log_3 9{\small .}\)
В обеих частях стоят логарифмы по одинаковому основанию. Такие логарифмы равны, если равны их аргументы:
\(\displaystyle 2(2x+4)=9 {\small .}\)
Решим полученное линейное уравнение:
\(\displaystyle 4x+8=9{\small ,}\)
\(\displaystyle 4x=1{\small ,}\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{4}=0{,}25{\small .}\)
Проверка: подставим \(\displaystyle x=0{,}25\) в исходное уравнение. Получаем:
\(\displaystyle \log_{3}{(2\cdot 0{,}25+4)}+\log_3 2=2{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_3 4{,}5+\log_3 2=2{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_3 (4{,}5\cdot 2)=2{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_3 9=2\) – верно.
Ответ: \(\displaystyle 0{,}25{\small .} \)