Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Логарифмические уравнения

Задание

Найдите корень уравнения

\(\displaystyle \log _{3}(2x+4)+\log _{3} 2=2{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
0,25
Решение

Сначала решим уравнение \(\displaystyle \log _{3}(2x+4)+\log _{3} 2=2{\small ,}\) а затем сделаем проверку. 

Представим обе части уравнения в виде логарифмов по одинаковому основанию.

По свойствам логарифма

\(\displaystyle \log _{3}(2x+4)+\log _{3} 2=\log_3 (2(2x+4)){\small .}\)

Тогда исходное уравнение \(\displaystyle \log _{3}(2x+4)+\log _{3} 2=2\) можно переписать как 

 \(\displaystyle \log _{3}(2(2x+4))=2{\small .}\)

Перепишем правую часть как логарифм по основанию \(\displaystyle 3{\small .}\) По определению логарифма

\(\displaystyle 2=\log_3 3^2=\log_3 9{\small .}\)

Получаем уравнение:

 \(\displaystyle \log _{3}(2(2x+4))=\log_3 9{\small .}\)

В обеих частях стоят логарифмы по одинаковому основанию. Такие логарифмы равны, если равны их аргументы:

\(\displaystyle 2(2x+4)=9 {\small .}\)

Решим полученное линейное уравнение:

\(\displaystyle 4x+8=9{\small ,}\)

\(\displaystyle 4x=1{\small ,}\)

\(\displaystyle x=\frac{1}{4}=0{,}25{\small .}\)

Проверка: подставим \(\displaystyle x=0{,}25\) в исходное уравнение. Получаем:

\(\displaystyle \log_{3}{(2\cdot 0{,}25+4)}+\log_3 2=2{\small ,}\)

\(\displaystyle \log_3 4{,}5+\log_3 2=2{\small ,}\)

\(\displaystyle \log_3 (4{,}5\cdot 2)=2{\small ,}\)

\(\displaystyle \log_3 9=2\) – верно.

Ответ: \(\displaystyle 0{,}25{\small .} \)