Найдите угол \(\displaystyle RST {\small ,}\) если его сторона \(\displaystyle SR\) касается окружности в точке \(\displaystyle R{\small ,}\) углы \(\displaystyle RKT\) и \(\displaystyle RTK\) равны соответственно \(\displaystyle 71^\circ\) и \(\displaystyle 33^\circ \) (см. рис.). Ответ дайте в градусах.
\(\displaystyle ^{\circ}\)
Вписанные углы \(\displaystyle \angle RKT\) и \(\displaystyle \angle RTK\) опираются на дуги \(\displaystyle RT\) и \(\displaystyle RK \) соответственно.
Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то
\(\displaystyle \angle RKT=\frac{1}{2} \overset{\smile}{RT}{\small,}\) \(\displaystyle \angle RTK=\frac{1}{2} \overset{\smile}{RK}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \overset{\smile}{RT}=2\angle RKT=142^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle \overset{\smile}{RK}=2\angle RTK=66^{\circ}{\small .}\)
По теореме об угле между касательной и секущей:
Угол между касательной и секущей
Угол между касательной и секущей, проведёнными из одной точки, лежащей вне окружности, равен полуразности дуг, лежащих между ними.
получаем:
\(\displaystyle \angle RST=\frac{1}{2} \overset{\smile}{RT}-\frac{1}{2} \overset{\smile}{RK}=71^{\circ}-33^{\circ}=38^{\circ}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 38^{\circ} {\small .}\)