Найдите угол \(\displaystyle ACB {\small ,}\) если его сторона \(\displaystyle CA\) касается окружности в точке \(\displaystyle A{\small ,}\) углы \(\displaystyle AEB\) и \(\displaystyle ABE\) равны соответственно \(\displaystyle 56^\circ\) и \(\displaystyle 32^\circ \) (см. рис.). Ответ дайте в градусах.
\(\displaystyle ^{\circ}\)
Вписанные углы \(\displaystyle \angle AEB\) и \(\displaystyle \angle ABE\) опираются на дуги \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AE \) соответственно.
Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то
\(\displaystyle \angle AEB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}{\small,}\) \(\displaystyle \angle ABE=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \overset{\smile}{AB}=2\angle ADB=112^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle \overset{\smile}{AE}=2\angle ABE=64^{\circ}{\small .}\)
По теореме об угле между касательной и секущей:
Угол между касательной и секущей
Угол между касательной и секущей, проведёнными из одной точки, лежащей вне окружности, равен полуразности дуг, лежащих между ними.
получаем:
\(\displaystyle \angle ACB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}-\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}=56^{\circ}-32^{\circ}=24^{\circ}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 24^{\circ} {\small .}\)