Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 19 Углы между секущими в окружности

Задание

Четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность, \(\displaystyle K\) – точка пересечения его диагоналей. Найти угол \(\displaystyle ACD{\small,}\) если \(\displaystyle \angle AKB =95^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle CAB = 35^{\circ}{\small .}\) Ответ дайте в градусах.

\(\displaystyle \angle ACD=\)\(\displaystyle ^{\circ}\)

Решение

Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то 

\(\displaystyle \angle CAB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{CB}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \overset{\smile}{CB}=2\angle CAB=70^{\circ}{\small .}\)

Так как углы \(\displaystyle AKB\) и \(\displaystyle AKD\) смежные, то их сумма равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small .}\) 

Тогда 

\(\displaystyle \angle AKD =180^{\circ}-\angle AKB =180^{\circ}-95^{\circ}=85^{\circ}{\small .}\)

По теореме об угле между пересекающимися хордами 

Правило

Угол между пересекающимися хордами

Величина угла между пересекающимися хордами равна полусумме заключенных между ними дуг.

получаем:

\(\displaystyle \angle AKD=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AD}+\frac{1}{2} \overset{\smile}{CB}{\small,}\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}\overset{\smile}{AD}=\angle AKD-\frac{1}{2} \overset{\smile}{CB}=85^{\circ}-35^{\circ}=50^{\circ}{\small .}\)

Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то 

\(\displaystyle \angle ACD=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AD}=50^{\circ}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 50^{\circ} {\small .}\)