Skip to main content

Теория: 03 Иррациональные уравнения

Задание

Решите уравнение

\(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{14-5x}}=\frac{1}{3}{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
1
Решение

Способ 1

Для решения уравнения \(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{14-5x}}=\frac{1}{3}\) возведем обе части в квадрат.

При этом могут появиться посторонние корни, поэтому после решения необходима проверка.

Получаем:

\(\displaystyle \left(\sqrt{\frac{1}{14-5x}}\right)^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2{\small ,}\)

\(\displaystyle \frac{1}{14-5x}=\frac{1}{9}{\small .}\)

Перемножим дроби по правилу пропорции.

Правило пропорции \(\displaystyle \frac{\color{blue}{A}}{\color{red}{B}}=\frac{\color{red}{X}}{\color{blue}{Y}}\)

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{1}}{\color{red}{{14-5x}}}=\frac{\color{red}{1}}{\color{blue}{9}}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{1}\cdot \color{blue}{9}=\color{red}{1}\cdot (\color{red}{{14-5x}}){\small ,}\)

\(\displaystyle 14-5x=9{\small .}\)

Решим полученное линейное уравнение:

\(\displaystyle -5x=9-14{\small ,}\)

\(\displaystyle -5x=-5{\small ,}\)

\(\displaystyle x=1{\small .}\)

Проверка: подставим \(\displaystyle x=1\) в исходное уравнение. Получаем:

\(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{14-5\cdot 1}}=\frac{1}{3}{\small ;}\)

\(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}{\small ;}\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\) – верно.

Ответ:\(\displaystyle 1{\small .}\)

Способ 2

Заметим, что по свойству корней \(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{14-5x}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{14-5x}}=\frac{1}{\sqrt{14-5x}}{\small .}\)

Следовательно, получили уравнение 

 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{14-5x}}=\frac{1}{3}{\small .}\)

Перемножим дроби по правилу пропорции, а затем сделаем проверку.

Получаем:

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{1}}{\color{red}{\sqrt{14-5x}}}=\frac{\color{red}{1}}{\color{blue}{3}}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{1}\cdot \color{blue}{3}=\color{red}{1}\cdot \color{red}{\sqrt{14-5x}}{\small ,}\)

\(\displaystyle 3=\sqrt{14-5x}{\small ,}\)

\(\displaystyle \sqrt{14-5x}=3{\small .}\)

Для решения уравнения \(\displaystyle \sqrt{14-5x}=3\) возведем обе части в квадрат.

Получаем:

\(\displaystyle (\sqrt{14-5x})^2=3^2{\small ,}\)

\(\displaystyle 14-5x=9{\small .}\)

Решим полученное линейное уравнение:

\(\displaystyle -5x=9-14{\small ,}\)

\(\displaystyle -5x=-5{\small ,}\)

\(\displaystyle x=1{\small .}\)

Проверка: подставим \(\displaystyle x=1\) в исходное уравнение. Получаем:

\(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{14-5\cdot 1}}=\frac{1}{3}{\small ;}\)

\(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}{\small ;}\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\) – верно.

Ответ:\(\displaystyle 1{\small .}\)