В июле \(\displaystyle 2027\) года планируется взять кредит \(\displaystyle 182 \, 000\) рублей в банке на три года.
Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на \(\displaystyle 20\% \)по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит ежегодный платёж, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами,?
По условию:
- в июле \(\displaystyle 2027\)года клиент берёт кредит на сумму \(\displaystyle 182 \, 000\) рублей;
- каждый январь долг увеличивается на \(\displaystyle 20\% \)по сравнению с июлем предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года клиент выплачивает одним платежом часть долга;
- кредит будет погашен за три года;
- клиент гасит кредит тремя равными платежами.
Требуется определить величину ежегодного платежа (в рублях).
Известна сумма кредита: \(\displaystyle 182 \, 000\)рублей. Для сокращения записей обозначим эту сумму буквой \(\displaystyle S{\small.}\)
Ежегодный платёж неизвестен. Пусть он составляет \(\displaystyle x\)рублей.
Будем следить за долгом на начало и конец каждого года и заносить данные в таблицу.
- в январе \(\displaystyle 2028\)года банк начисляет проценты в размере \(\displaystyle \frac{20}{100}\cdot S=0{,}2S\) рублей;
- в январе \(\displaystyle 2028\)года клиент должен банку \(\displaystyle S+0{,}2 S=\blue{1{,}2S}\) рублей;
Можно воспользоваться правилом
Правило При увеличении величины \(\displaystyle S\) на \(\displaystyle p \%\) получаем \(\displaystyle S \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right) {\small .}\) |
и при \(\displaystyle p =20\) сразу записать:
\(\displaystyle S \cdot \left(1+ \frac {20}{100} \right)=\blue{1{,}2S} {\small .}\)
- с февраля по июнь \(\displaystyle 2027\)года клиент выплачивает \(\displaystyle x\) рублей.
Тогда с июля и до конца \(\displaystyle 2028\)года клиент должен банку уже \(\displaystyle \red{1{,}2S-x}\) рублей.
\(\displaystyle \red{1{,}2(1{,}2S-x)-x}\)руб.,
\(\displaystyle \red{1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)-x}\)руб.
Составим таблицу:
| Год | Долг на январь, руб. | Выплаты, руб. | Долг на июль (и до конца года), руб. |
| \(\displaystyle 2027\) |
| \(\displaystyle \red S\) | |
| \(\displaystyle 2028\) | \(\displaystyle \blue{1{,}2S}\) | \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle \red{1{,}2S-x}\) |
| \(\displaystyle 2029\) | \(\displaystyle \blue{1{,}2(1{,}2S-x)}\) | \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle \red{1{,}2(1{,}2S-x)-x}\) |
| \(\displaystyle 2030\) | \(\displaystyle \blue{1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)}\) | \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle \red{1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)-x}\) |
В июле \(\displaystyle 2030\) долг перед банком должен быть полностью погашен, то есть он равен нулю
С другой стороны, этот же долг равен \(\displaystyle \red{1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)-x}{\small.}\)
Составим уравнение:
\(\displaystyle 1{,}2(1{,}2(1{,}2S-x)-x)-x=0{\small.}\)
\(\displaystyle x=\frac{216S}{455}{\small .}\)
Подставим \(\displaystyle S=182 \, 000{\small :}\)
\(\displaystyle x=\frac{216\cdot \cancel{182 \, 000}^{\color{blue}{2000}}}{\cancel{455}^{\color{blue}{5}}}=216 \cdot 400=86 \, 400{\small .}\)
То есть ежегодный размер платежа составляет \(\displaystyle 86 \, 400{\small }\)руб.
Эту величину и требовалось найти.
Ответ: \(\displaystyle 86 \, 400{\small .}\)