Skip to main content

Теория: 01 Задачи на кредиты с погашением равными платежами

Задание

В июле \(\displaystyle 2026\) года планируется взять кредит в банке на сумму \(\displaystyle 147 \, 000\) рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на \(\displaystyle 10\% \)по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит ежегодный платёж, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года?

Решение

Разберёмся с условием и вопросом задачи.

По условию:

  • в июле \(\displaystyle 2026\) года клиент берёт кредит на сумму \(\displaystyle 147 \, 000\) рублей;
  • каждый январь долг увеличивается на \(\displaystyle 10\%\) по сравнению с июлем предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года клиент выплачивает одним платежом часть долга;
  • кредит будет погашен за два года;
  • клиент гасит кредит двумя равными платежами.

Требуется определить величину ежегодного платежа (в рублях).

Известна сумма кредита: \(\displaystyle 147 \, 000\) рублей. Для сокращения записей обозначим эту сумму буквой \(\displaystyle S{\small.}\)

Ежегодный платёж неизвестен. Пусть он составляет \(\displaystyle x\) рублей.

 

Будем следить за долгом на начало и конец каждого года и заносить данные в таблицу.

Формирование долга в \(\displaystyle 2026\) году: к концу года долг клиента составляет \(\displaystyle \red S\) рублей.

Формирование долга в \(\displaystyle 2027\) году: к концу года долг клиента составляет \(\displaystyle \red{1{,}1S-x}\) рублей.

  • в январе \(\displaystyle 2027\) года банк начисляет проценты в размере \(\displaystyle \frac{10}{100}\cdot S=0{,}1S\) рублей;
     
  • в январе \(\displaystyle 2027\) года клиент должен банку \(\displaystyle S+0{,}1S=\blue{1{,}1S}\) рублей;


Можно воспользоваться правилом

 

Правило

При увеличении величины \(\displaystyle S\) на \(\displaystyle p \%\) получаем

\(\displaystyle S \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right) {\small .}\)

и при \(\displaystyle p =10\) сразу записать:

\(\displaystyle S \cdot \left(1+ \frac {10}{100} \right)=\blue{1{,}1S} {\small .}\)

  • с февраля по июнь \(\displaystyle 2027\) года клиент выплачивает \(\displaystyle x\) рублей.
     

Тогда с июля и до конца \(\displaystyle 2027\) года клиент должен банку уже \(\displaystyle \red{1{,}1S-x}\) рублей.

Аналогично происходит формирование долга в \(\displaystyle 2028\) году: к концу года долг клиента составляет

\(\displaystyle \red{1{,}1(1{,}1S-x)-x}\) руб.

Составим таблицу:
 

ГодДолг на январь, руб.Выплаты, руб.Долг на июль (и до конца года), руб.
\(\displaystyle 2026\)

 

  \(\displaystyle \red S\)
\(\displaystyle 2027\)\(\displaystyle \blue{1{,}1S}\)\(\displaystyle x\)\(\displaystyle \red{1{,}1S-x}\)
\(\displaystyle 2028\)\(\displaystyle \blue{1{,}1(1{,}1S-x)}\)\(\displaystyle x\)\(\displaystyle \red{1{,}1(1{,}1S-x)-x}\)


В июле \(\displaystyle 2028\) долг перед банком должен быть полностью погашен, то есть он равен нулю

С другой стороны, этот же долг равен \(\displaystyle \red{1{,}1(1{,}1S-x)-x}{\small.}\)

Составим уравнение:

\(\displaystyle 1{,}1(1{,}1S-x)-x=0{\small.}\)

Решим полученное уравнение и найдём

\(\displaystyle x=\frac{121S}{210}{\small .}\)

Подставим \(\displaystyle S=147 \, 000{\small :}\)

\(\displaystyle x=\frac{121\cdot \cancel{147 \, 000}^{\color{blue}{700}}}{ \cancel{210}^{\color{blue}{1}}}=121 \cdot 700=84 \, 700{\small .}\)


То есть ежегодный размер платежа составляет \(\displaystyle 84 \, 700\) руб.

Эту величину и требовалось найти.


Ответ: \(\displaystyle 84 \, 700{\small .}\)